* Proposition (Assertion)
Une assertion est un énoncé dont on peut affirmer sans ambiguïté s’il est vrai (V ou 1) ou s’il est faux (F ou 0), pas les deux en même temps.
Souvent, on note une proposition par une lettre majuscule.
Exemples :
– La Proposition P: « 5+3=4 » est une Proposition fausse.
– La Proposition Q: « 3×4=12 » est une Proposition vraie.
– A: « Il pleut. »
– B: « Je suis plus grand que toi. »
– C: « Pour tout réel x, on a x>3 »: Une Proposition contenant des variables, qui est vrai pour certaines valeurs attribuées à ces variables, faux pour toutes les autres.
(vraie pour les nombres strictement inférieurs à 3, fausse pour tous les autres).
– D: « Mon pays se situe en Amérique» sera vrai ou faux en fonction de la valeur de la variable «Mon pays».
si le lecteur est français, on obtiendra la proposition La France se situe en Amérique, qui est fausse;
si le lecteur est canadien, on obtiendra la proposition Le Canada se situe en Amérique qui est vraie.
P est une assertion.
nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de P.
La Négation d’une proposition “P”, notée “non(P)” ou “ㄱ(P)”, est une proposition qui est vraie lorsque P est fausse et qui est fausse lorsque P est vraie.
Par conséquent, la double négation correspond à une affirmation ; autrement dit, les propositions P et ¬(¬(P)) sont logiquement équivalentes.
Table de vérité de « non P »
Si P est une assertion et Q est une autre assertion,
nous allons définir de nouvelles assertions construites à partir de P et de Q.
* Conjonction de deux propositions P∧Q:
La Conjonction de deux propositions P,Q, notée “P et Q” ou “P∧Q”, est une proposition vraie si les deux propositions sont vraies, fausse dans tous les autres cas.
Table de vérité de « P et Q »
La propositions (“x ≤ 2” et “x ≥ 2”) est vraie pour x = 2.
* Disjonction de deux propositions P∨Q:
La Disjonction de deux propositions P,Q, notée “P ou Q” ou “P∨Q”, est une proposition vraie si au moins une des deux propositions est vraie, fausse dans tous les autres cas.
Table de vérité de « P ou Q »
* Implication P⇒Q:
Implication de deux propositions P,Q notée “P⇒Q”, est la proposition “(non P) ou Q”.
Table de vérité de « P⇒Q »
«1+3=5⇒3²=8 » est vraie ! Eh oui, si P est fausse alors l’assertion « P⇒Q » est toujours vraie.
« cos(x)=1⇒x=0 » est fausse (regarder pour x=2π par exemple).
Remarque:
Le symbole mathématique « ⇒ » ne signifie pas «donc».
* L’équivalence P⇔Q:
L’équivalence de deux propositions P,Q est définie par : P⇔ Q
« P⇔Q » est l’assertion «(P⇒Q) et (Q⇒P)».
La table de vérité de « P⇔Q »:
Pour x,y ∈R, l’équivalence « xy=0 ⇔ x=0 ou y=0 » est vraie.
* Proposition:
Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes :
1. P⇔non(non(P)).
2. (P et Q)⇔(Q et P)
3. (P ou Q)⇔(Q ou P)
4. non(P et Q) ⇔ (non P) ou (non Q)
5. non(P ou Q) ⇔ (non P) et (non Q)
6. P et (Q ou R) ⇔ (P et Q) ou (P et R)
7.P ou (Q et R) ⇔ (P ou Q) et (P ou R)
8. P⇒Q » ⇔ « non(Q)⇒non(P) »
Démonstration: On dresse les deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes.
3- Quantificateur:
* Le quantificateur : ∀ « pour tout »
Une assertion P peut dépendre d’un paramètre x, par exemple «3x-2>1», l’assertion P(x) est vraie ou fausse selon la valeur de x.
est une assertion vraie lorsque les assertions P(x) sont vraies pour tous les éléments x del’ensemble E.On lit «Pour tout x appartenant à E, P(x)», sous-entendu «Pour tout x appartenant à E, P(x) est vraie»Par exemple :
«∀x∊[1,3[ (x²≥1)» est une assertion vraie.
«∀x∊IR (x²>2)» est une assertion fausse.
«∀x∊IN (n(n + 1) est divisible par 2» est vraie.
4- méthodes classique de raisonnements:
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Cours math 1 Bac SM –––––––––– ⇲ Notions de Logique ④ étapes