1- Ordre et opérations: +, x, inverse:
Soient a, b, c et d des nombres réels.
Exemple:
Montrer que: x²+1≥2x
pour comparer deux nombres a et b, une méthode consiste à calculer la différence de ces deux nombres, puis à étudier le signe de cette différence.
(x²+1)-2x=x²-2x+1²=(x-1)²≥0.
* Addition, soustraction et ordre:
a, b et c désignent trois nombres relatifs.
Les nombres a+ c et b+ c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
Par exemple : Si a < b ➡️ a+ c < b+ c.
Les nombres a-c et b-c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
Par exemple : Si a < b ➡️ a-c < b-c
Exemple:
x-4≤5 ➝ (x-4)+4≤5+4 ➝ x≤9
x+6>9 ➝ (x+6)-6>9-6 ➝ x>3
NB: En ajoutant (ou en retranchant) un même nombre réel aux deux membres d’une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.
Si a ≤ b et c <= d ➡️ a + c ≤ b + d
Exemple:
x
≤5 & y≤-5 ➝ x+y
≤0
NB: En ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens.
* Ordre et multiplication
a, b et c désignent trois nombres relatifs.
Si c > 0, alors les nombres a× c et b× c (ou a/c et b/c) sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.
Par exemple : Si a < b et c > 0, alors a×c < b×c et a/c < b/c.
NB: Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un nombre réel strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.
Si c < 0, alors les nombres a× c et b× c (ou a/c et b/c) sont rangés dans l’ordre inverse des nombres a et b.
Par exemple : Si a < b et c < 0, alors a×c > b×c et a/c > b/c.
NB: Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un nombre réel strictement négatif, on obtient une inégalité sens contraire.
Exemple: x/2>3 ➝ 2.x/2>2.3 ➝ x>6
Si ac≤bc et c≥0 ➡️ a ≤ b
Si ac≤bc et c≤0 ➡️ a ≥ b
Exemple: -5x<15 ➝ (-1/5).(-5x)>(-1/5).15 ➝ x>-3
* 0rdre et Inverse
Si 0<a<b ➡️ 0 <1/b<1/a
Nb: Deux réels strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.
Exemple: 5>3 ➝ 1/5<1/3
Si a<b<0 ➡️ 1/b < 1/a <0
Nb: Deux réels strictement négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.
Exemple: -7>-9 ➝ -1/7<-1/9
Nb: Si a≥0 et b≤0 on a forcement a≥b.
* Exercice
Soient x un nombre réel de l’intervalle ]2,5[
On pose A=(3x-1) / (2x+3)
Donner un encadrement du nombre A.
Solution
Encadrement de A:
on a : 2<x<5
donc : 6<3x<15 ⟶ 5<3x-1<14
et: 4<2x<10 ⟶ 7<2x+3<13 ⟶ 1/13 < 1/(2x+3) < 1/7
Il s’ensuit : 5/13 < (3x-1) / (2x+3) < 14/7
c’est-à-dire : 5/13 < A < 2
Les intervalles réels sont des sous-ensembles (ou des parties) de l’ensemble des réels.
Leur grande particularité est qu’ils sont « continus ».
le chemin entre deux éléments d’un intervalle reste dans cet intervalle.
Leur représentation sur la droite numérique est un segment ou une droite dont les extrémités peuvent être exclues. C’est d’ailleurs ce qui fait qu’un intervalle est ouvert ou fermé.
* Les différents types d’intervalles
Soient a et b deux nombres réels.
Intervalle fermé borné
[a ; b] (a
x
b )
Intervalle borné semi-fermé en a et semi-ouvert en b
(ou semi-fermé à gauche et semi-ouvert à droite):
[a ; b[ (a
x < b )
Intervalle borné semi-ouvert en a et semi-fermé en b (ou semi-ouvert à gauche et semi-fermé à droite)
]a ; b] (a < x
b )
Intervalle ouvert borné.
]a ; b[ (a < x < b)
Intervalle non borné fermé en b (ou fermé à droite)
]-
; b] (x
b)
Intervalle non borné ouvert en b (ou ouvert à droite)
]-
; b[ (x < b)
Intervalle non borné fermé en a (ou fermé à gauche)
[a ; +
[ (a
x )
Intervalle non borné ouvert en a (ou ouvert à gauche)
]a ; +
[ (a < x )
* crochet ouvert & crochet fermé:
Un crochet est ouvert lorsqu’il fait le dos à sa borne. Il indique que celle-ci ne fait pas partie de l’intervalle ]3;7] La borne 3 ne fait pas partie de l’intervalle ]3,7]
La borne 9 ne fait pas partie de l’intervalle ]2;9[.
Un crochet fermé est un crochet qui s’ouvre sur sa borne. Il indique qu’elle fait partie de l’intervalle.
Un crochet qui n’est pas ouvert est nécessairement fermé.
le crochet est toujours ouvert en +∞, -∞.
Exemple: ]2;+∞[ | ]-∞;4] | ]-∞;+∞[
* Encadrement:
a, b et x désignent des nombres relatifs,
si on a : a < x < b ou a≤x≤b ou a≤x< b ou a <x≤b
on dit que le nombre x est encadré par les nombres a et b.
La différence (b – a) est appelée l’amplitude de cet encadrement.
Exemple:
1 ≤ x ≤ 5 encadrement du nombre x d’amplitude 4 (5-1=4).
2,4 ≤ x ≤ 3,7 encadrement du nombre x d’amplitude 1,3 (3,7-2,4=1,3)
* Encadrement d’addition de deux nombres
Si a≤ x≤ b et c≤ y≤ d ➡️ (a+c≤x+y≤(b+d)
Exemple:
2<x<3 et -4<y<5 ➝ 2-4<x-y<3+5 ➝ -2<x-y<8
NB: En Addition membre à membre deux inégalités de même sens et ne portant que sur des réels positifs ou nuls, on obtient une inégalité de même sens.
* Encadrement de différence de deux nombres
Si a≤ x≤ b et c≤ y≤ d ➡️ (a-d)≤x-y≤(b-c)
Exemple:
6<x<9 et -2<y<5 pour encadrer (x-y) on commence par (-y) puis en fait l’additoion.
-2<y<5 ➝ -5<-y<2 & 6<x<9 ➝ 6-5<x-y<9+2 ➝ -1<x-y<11
* Encadrement du produit de deux nombres
Si 0< a≤ x≤ b et 0< c≤ y≤ d<=d
➡️ ac≤xy≤bd
NB: En multipliant membre à membre deux inégalités de même sens et ne portant que sur des réels positifs ou nuls, on obtient une inégalité de même sens.
* Rangement des carrés
Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.
Si 0≤ a≤ b➡️ 0≤ a² ≤ b²
Démonstration
on a 0≤ a≤ b et 0≤ a≤ b ➝ 0≤ a.a≤ b.b ➝ 0≤ a²≤b²
* Encadrement de l’inverse de deux nombres
Si 0≤a≤x≤b ➡️ 1/b≤1/x≤1/a
Démonstration:
calculons la différence: 1/x-1/b=(b-x)/bx
on a 0≤a≤x≤b ➝ (b-x) >0 & bx>0
donc 1/b≤1/x.
de même pour 1/x≤1/a.
* Encadrement du quotient de deux nombres
Si 0<a≤y≤b et 0<c≤y≤d ➡️ (a/d) ≤ (x/y) ≤ (b/c)
Démonstration:
0<c≤y≤d ➝ 0<1/d≤1/y≤1/c
d’autre part on a: 0<a≤y≤b
En multipliant membre à membre deux inégalités
5- Approximations:
Soit (a <= x <= b ; a <= x < b ; a < x <= b ; a < x < b)
Un encadrement de x d’amplitude b – a
* Approximations par défaut
Le nombre a est appelé approximation du nombre x à (b-a) près par défaut.
* Approximations par excès
Le nombre b est appelé approximation du nombre x à (b-a) près par excès
Exemple: 5/7=0,7142857
0,714<5/7<0,715
on a: 0,715-0,714=0,001
Le nombre 0,714 est appelé approximation du nombre 5/7 à 0,001 près par défaut.
Le nombre 0,715 est appelé approximation du nombre 5/7 à 0,001 près par excès.
Soient x un nombre réel et r un réel strictement positif.
a réel qui vérifie l’une ou l’autre des deux relations |x-a|< r ou |x -a|≤r .
a est appelé valeur approchée de x à r près (ou à la précision r près).
Exemple: 7/3=2,33333
0≤ 7/3-2,33=0,0033 ≤ 0,004
| 7/3-2,33 | ≤ 0,004
2,33 est appelé valeur approchée de 7/3 à 0,004 près
7- Approximations décimales:
soit x un nombre réel tel que : N x 10⁻ⁿ ≤ x ≤ (N+1) x 10⁻ⁿ où n∈IN et N∈Z
Le nombre N x 10⁻ⁿ est appelé l’approximation décimale du nombre x à 10⁻ⁿ près par défaut.
Le nombre (N+1) x 10⁻ⁿ est appelé l’approximation décimale du nombre x à 10⁻ⁿ près par excès.
Exemple: Déterminer approximation décimale du nombre à 10⁻³ près par excès.
8/7=1,142857 ➝ 1,142<8/7<1,143
Donc : 1142 x 10⁻³ < 8/7 < (1142+1) x 10⁻³
Le nombre (1142+1) x 10⁻³ = 1,143 est appelé l’approximation décimale du nombre 8/7 à 10⁻³ près par excès.
① Comparaison de deux encadrements
Soient x un nombre réel de l’intervalle [1,2]
On pose B=(2x+3) / (x+1)
1) Donner un encadrement du nombre B.
2) a- Déterminer les deux réels a et b tels que : B=a + b/(x+1)
b- Déterminer un autre encadrement du nombre B.
3) Déterminer le plus fin des deux encadrements précédents de B.
* Solution:
1) Encadrement de B:
on a : 1≤x≤2
donc : 5≤2x+3≤7
et: 2≤x+1≤3 ⟶ 1/3≤1/(x+1)≤1/2
Il s’ensuit : 5/3<(2x+3) / (x+1)<7/2
c’est-à-dire : 5/3<B<7/2
2) a- Détermination de a et b tel que: B=a + b/(x+1)
signifie que: B=(ax+a+b) / (x+1)
c’est-à-dire 2x+3 = ax+a+b
Par identification des coefficients,
on obtient: a=2 et a+b=3
c’est-à-dire : a=2 et b=1 Ainsi : B= 2 + 1/(x+1)
b- Autre encadrement de B
on a : 1≤x≤2
Il s’ensuit : 2≤x+1≤3
c’est-à-dire : 1/3 ≤1/ (x+1)≤ 1/2
Il en découle : 2+1/3 ≤ 2+ 1/ (x+1)≤2+1/2
donc: 7/3≤B≤5/2
3) Comparaison des deux encadrements précédents de B.
Ona: 5/3<B<7/2 Cet encadrement a pour amplitude 7/2-5/3=11/6
Ona: 7/3≤B≤5/2 Cet encadrement a pour amplitude 5/2-7/3=1/6
Comme 1/6<11/6 alors le plus fin des deux encadrements est celui de la 2ème question
c’est-à-dire 7/3≤B≤5/2.
② Encadrement et valeur absolue
Soient x et y deux nombres réels tels que : x>3/2 , y< 2 et x-y=2
1) Calculer la valeur du nombre A définie par
2) Vérifier que : 3/2<x<4 et -1/2<y< 2
3) Calculer la valeur du nombre B défini par:
B=|x+y+3|+|x+y-3|
* Solution:
1) On a : A=|2x-3|+|2y-4|
Donc : A=|2x-3|+2|y-2|
Or x > 3/2 c’est-à-dire 2x-3>0, et |2x-3|=2x-3
Par ailleurs y<2 c’est-à-dire y-2<0
par suite |y-2|=2-y
On en déduit A= 2x-3+2(2-y)=1+2(x-y)
Comme x-y=2, alors B=1+2×2
donc B=5.
2) Vérifions que: 3/2<x<4 et -1/2<y< 2
On a : x-y=2
donc : x=y+2
On a : y < 2
donc : y+2>4
c’est-à-dire x<4
Par hypothèse 3/2 < x
Donc 3/2<x<4.
On a : 3/2<x<4 et x=y+2.
Donc : 3/2<y+2 < 4
On en tire 3/2-2<y+2< 4-2
c’est-à-dire -1/2<y<2.
3) Calculons la valeur de B=|x+y-1|+|x+y-6|
Etudions d’abord le signe de chacun des deux réels x+y-1 et x+y-6
On a : 3/2<x<4 et -1/2<y<2
Donc : 1<x+y<6
D’où : 0<x+y-1<5 et -5<x+y-6<0
Il vient aussitôt |x+y-1|=x+y-1 et |x+y-6|=-(x+y-6)
On en tire: B= x+y-1-x-y+6
D’où : B = 5.
③ Approximation
1) a- Vérifier que pour tout x de IR {1}
2) Déterminer alors une valeur approchée du nombre 1/0,99 à la précision 2 x 10⁻⁴ près.
(On pourra poser x = 10⁻²)
1) a) soit x un nombre réel différent de 1
1+x + x²/(1-x)= ((1+x)(1-x)+x²) / (1-x)= (1-x²+x²) / (1-x)
D’où : 1+x + x²/(1-x) = 1/(1-x)
b) Soit x un nombre réel tel que: |x|<l/2
Ona: 1+x + x²/(1-x) = 1/(1-x)
ou encore 1/(1-x) – (1+x) = x²/(1-x)
Donc: | 1/(1-x) – (1+x) | = x²/|1-x| (1)
On a: |x|<l/2
c’est -à-dire -1/2 < x < 1/2
Donc: -1/2 < -x < 1/2
c’est -à-dire 1-1/2 < 1-x < 1+1/2
c’est -à-dire 1/2 < 1-x < 3/2
c’est -à-dire2/3 < 1/(1-x) < 2
D’où: 1/ |1-x| < 2
comme x² ≥ 0 alors x²/|1-x| < 2x²
alors En utilisant la relation (1), on déduit que:
2) Déterminer alors une valeur approchée du nombre 1/0,99 à la précision 2 x 10⁻⁴ près.
D’après le résultat de la question 1) b)
on a:
pour tout réel x tel que: |x|<l/2
En prenant x = 10⁻² (Il est bien clair que |10⁻²| <1/2 )
Ona: | 1 / (1-10⁻²) – (1+10⁻²) | ≤ 2x(10⁻²)²
c’est-à-dire : | 1 / (1-0,01) – (1+0,01) | ≤ 2x(10⁻⁴)
ou encore | 1/0.99-1,01 | < 2×10⁻⁴
Ceci signifie que 1,01 est une valeur approchée du nombre 1/0.99 à la précision 2 x 104 près.
_____________________________________________________________
Cours math Tronc Commun –––––––––– ⇲ Ordre dans IR ⑦ étapes
