Les Applications Math Bac 1 SM

Les Applications en ⑦ étapes

1- Fonction & Application
2- L’image directe et L’image réciproque d’une partie.
3- Restriction et Prolongement d’une application.
4- La composée de deux applications.
5- Injective – Surjective – Bijective.
6- Réciproque d’une bijection.
7- Composition d’une application.

1- Fonction & Application:

* Fonction:
Une relation f d’un ensemble E vers un ensemble F est dite une fonction
si tout élément x de E admet au plus une image f(x) dans F.

Diagrame:

Exemple:

* La relation g qui à tout élément x de IR associe son racine carré dans IR définie bien une fonction de IR vers IR.

* Application:
Soit E et F deux ensembles non vides.
On appelle application de E vers F toute relation f qui à tout élément x de E associe un unique élément y de F.
On écrit alors y=f (x).

Diagrame:

Exemple:

* La relation g qui à tout élément x de IR associe son carré dans IR définie bien une Application de IR vers IR.

Définition:
Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F.
• L’ensemble E est appelé ensemble de départ de l’application f.
• L’ensemble F est appelé ensemble d’arrivée de l’application f.
• Pour tout x e E l’unique élément y de F tel que y = f (x) est appelé image de x par f .
• Pour tout y e F, tout élément x de E tel que y = f (x)
(il peut ne pas exister, en exister un, en exister plus d’un) est appelé un antécédent de y par f.

• On appelle graphe de l’application f l’ensemble des couples(x;f(x)) lorsque x décrit E.

On le note G(f)={(x;y)∊ExF / y=f(x)}.

Exercice:

On considère l’application f de IN² vers IN définie par f(n,m)=n+m.

a) Déterminer l’image de (3,1) & (1,3).

b) Déterminer antécédents de 0 et l’ensemble des antécédents des éléments par f.

c) L’implication suivante est-elle vraie : f(a;b) = f(c;d)⇒ (a;b)=(c;d)? Justifier la réponse.

Réponce:

a) f(2,3)=2+3=5 & f(3,2)=3+2=5

*antécédents de 0:

résoudre l’equation f(n,m)=0⇒n+m=0⇒n=0 et m=0 (car n,m ∊IN)

* l’ensemble des antécédents des éléments :

résoudre l’equation f(n,m)=0⇒n+m=2⇒ A={(0,2);(2,0);(1,1)}

c) L’implication est faux.

contre exemple

f(1,2)=f(2,1) et (1,2)≠(2,1)

* Egalité de deux applications

Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F
et g une application d’un ensemble E’ vers un ensemble F’.

On dit que les applications f et g sont égales et on écrit f=g si est seulement si:
* E=E’ & F = F’ & ∀xE f(x)=g(x).

2- L’image directe et L’image réciproque d’une partie:
* Image directe

Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F. Pour toute partie A de E, on définit l’image directe de A par f, notée f (A) par : f(A)={f(x) / x∈ A}
on a donc: y∈f(A)⇔∃x∈ A; y=f(x)

Exemple:
* f(x)=x²-2x: f([3,4])=[3,8].
(f(x)=x²-2x=(x-1)²-1; 3≤x≤4⇔3≤(x-1)²-1≤8⇔f(x)∈[3,8])

*f(x)=(x+3)/(x+1): f([3,5])=[4/3,3/2].
(f(x)=(x+3)/(x+1)=1+2/(x+1); 3≤x≤5⇔4/3≤1+2/(x+1)≤3/2⇔f(x)∈[4/3,3/2])
*f(x)=sin(x): f([0,π/2])=[0,1].

Proposition

Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F.
A et B deux parties de E. Alors :
1) f(A)∊F.
2) A=Ø⇒f(A)=Ø.
3) A⊂B⇒f(A)⊂f(B)
4) f(AUB)=f(A)Uf(B).
5) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)

Preuve
1) Puisque f est une application de E vers F et A une partie de E alors f (A) est une partie de F.

2) on suppose que f(A)≠Ø Considérons pour cela y∈f(A). Par définition,
il existe x∈A tel que y=f (x)⇒A≠Ø contradictoire.

3) Supposons que A⊂B et montrons que f (A)⊂f(B).
Considérons pour cela y∈f(A). Par définition,
il existe x∈A tel que y=f (x). L’élément x appartient à A & A⊂B .
⇒ x∈B.
On a donc f(x)∈f(B).

4)A⊂A∪B⇒f(A)⊂f(A∪B) & B⊂A∪B⇒f(B)⊂f(A∪B)
⇒f(A)Uf(B)⊂f(AUB)
Montrons réciproquement que f(A∪B)⊂f(A)∪f(B):
Soit y f ∈(AUB).
Par définition, il existe x ∈(A∪B) tel que y=f(x).
On a x∈A ou x∈B⇒f(x)∈f (A)⊂f(A)∪f(B) ou f (x)∈f(B)⊂f(A)∪f(B).
Dans tous les cas, on en déduit que y=f(x)∈f(A)∪f(B),
ce qui montre l’inclusion réciproque.
5) On a les inclusions (A∩B)⊂A et (A∩B)⊂B,
donc, d’après 1, (A∩B)⊂f(A) et f (A∩B)⊂f(B)
Ainsi, l’ensemble f(A∩B) est contenu à la fois dans f (A) et dans f (B),
donc, dans l’intersection des deux ensembles.
⇒f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).

Attention, on n’a pas, en général f(A∩B)=f(A)∩f(B).

exemple: f(x)=x². A=IR+ & B=IR- (A∩B={0})
f(A)=IR+ & f(B)=IR+ (f(A)∩f(B)=IR+)
f(A∩B)={0}≠f(A)∩f(B).

* image réciproque

Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F.

Pour toute partie B de F, on définit l’image réciproque de B par f, notée f⁻¹(B) par :
f⁻¹(B)={x∈E / f(x)∈B}

on a donc: x∈f⁻¹(B)⇔f(x)∈B.

Exemples:
* f(x)=x²: f⁻¹([-1,4])=[-2,2].

x∈f⁻¹([-1,4])⇔-1≤f(x)≤4

⇔-1≤x²≤4⇔0≤x²≤4

⇔|x|≤2⇔-2≤x≤2

⇔x∈[-2,2]

*f(x)=1/x: f⁻¹([-2,-1]∪[1,2])=[-1,-1/2]∪[1/2,1].

x∈f⁻¹([-1,-2]∪[1,2])⇔-1≤f(x)≤-2 ou 1≤f(x)≤2

⇔-2≤1/x≤-1 ou 1≤1/x≤2⇔1≤-1/x≤2 ou 1/2≤x≤1
⇔1/2≤-x≤1 ou 1/2≤x≤1

⇔x∈([-1,-1/2]∪[1/2,1]).

*f(x)=cos(x): f⁻¹([2,3])=Ø.

x∈f⁻¹([1,2])⇔2≤f(x)≤3

⇔2≤cos(x)≤3 (impossible)

car ∀x∈IR -1≤cos(x)≤1

Donc: f⁻¹([2,3])=Ø.

* Proposition
Soit f une application d’un ensemble E vers un ensemble F et A et B deux parties de F.

Alors :
1) f⁻¹(A)⊂E

2) A⊂B⇒f⁻¹(A)⊂f⁻¹(B)

3) f⁻¹(A∪B)=f⁻¹(A)∪f⁻¹(B)

4) f⁻¹(A∩B)=f⁻¹(A)∩f⁻¹(B)

Preuve

1) Puisque f est une application de E vers F et A une partie de F , alors f-‘(A) est une partie de E.

2)Supposons que A⊂B et montrons que f⁻¹(A)⊂f⁻¹(B)
soit x∈f⁻¹(A)
⇒f(x)∈A & A⊂B
⇒f(x)∈B⇒x∈f⁻¹(B).

3)Soit x ∈E.

On a les équivalences Suivantes:
x∈f⁻¹(A∪B)
⇔f(x)∈(A∪B)
⇔f(x)∈A ou f(x)∈B
⇔x∈f⁻¹(A) ou x∈f⁻¹(B)
⇔x∈(f⁻¹(A)∪f⁻¹(B))

3)Soit x ∈E.

On a les équivalences Suivantes:
x∈f⁻¹(A∩B)
⇔f(x)∈(A∩B)
⇔f(x)∈A et f(x)∈B
⇔x∈f⁻¹(A) et x∈f⁻¹(B)
⇔x∈(f⁻¹(A)∩f⁻¹(B))

3- Restriction et Prolongement d’une application:

Restriction d’une application
Soit f: E→F une application et A une partie de E.
On appelle restriction de f à la partie A,

l’application g définie par:
g: A→F avec g(x)=f(x).

Exemples:

* f: IR→IR avec f(x)=|x|.
La restriction de f à l’intervalle [0;+∞[ est l’application g définie par:
g: [0;+∞[→IR avec g(x)=x.

* On considère l’application g définie de IR vers IR:

La restriction de f à l’intervalle [0;+∞[ est l’application g définie par:
g: [0;+∞[→IR avec g(x)=x+1.

La restriction de f à l’intervalle ]-∞;0[ est l’application h définie par:
h: ]-∞;0 ]→IR avec h(x)=1/x.

▶️ Voir aussi ▶️ LES APPLICATIONS: EXERCICES NIV 1