Fonctions Primitives:Opérations sur les fonctions primitives

Fonctions Primitives

 ⇲  opérations sur les fonctions primitives
 
Activité 1 
Etant données deux fonctions continues f et g sur un intervalle I de IR
et deux réels α et β.
Soient F et G respectivement deux fonctions primitives de f et g sur I.
Montrer que (α.F+β.G) est une fonction primitive de la fonction (α.f+β.g) sur I.

 ⇲  Théorème 4
Etant données deux fonctions continues f et g sur un intervalle I
et deux réels α et β.
Si F et G sont respectivement deux fonctions primitives de f et g sur I
alors (α.F+β.G) est une primitive de la fonction (α.f+β.g) sur I.

Activité 2  
Soit la fonction f:x↦ 2cos(3x)+ 3sin(2x )
1) Déterminer une fonction primitive de f sur R.
2) Déterminer la fonction primitive F de f sur l’intervalle I = [-π,π] 
telle que F(0) = -1.

Activité 3  
On considère les fonctions f, F et G définies par :

1) Vérifier que f est continue sur R*
2) a) Montrer que F est la primitive de f sur l’intervalle I = ]-∞, 0[ s’annulant en un réel
a que l’on précisera.
b) Montrer que G est la primitive de f sur l’intervalle I = ]0,+∞[ s’annulant en un réel b
que l’on précisera.


Fonctions primitives des fonctions usuelles:

I=IR
f(x)=a ➝ F(x)=ax+c avec c∈IR
f(x)=x ➝ F(x)=1/2x²+c avec c∈IR

Activité 4 
Recopier et compléter le tableau suivant : 

Règles générales de détermination des fonctions primitives


Exemples de calcul de fonctions primitives

Exemple 1

Une primitive de la fonction

est la fonction

où c désigne une constante réelle arbitraire.

Exemple 2 
 
1) En posant u(x)=(1-x²)

2) En déduire que la fonction 

où c est une constante réelle, est une primitive de f sur R.

Exemple 3

1) En posant u(x)=(x²+1) 
2) En déduire que la fonction 

où c est une constante réelle, est une primitive de f sur R .

Exemple 4

1) En posant u(x)=(x²+x -2)  
2) En déduire que la fonction 

où c est une constante réelle, est une primitive de f sur ]1,+∞[.


Exemple 5 
1) En posant u(x)=5x3


Exemple 6


1) en posant u(x)=(x²+x+1) et v(x)=sin(x)
virifier que f(x)=u'(x).(v’ou)(x)
2) en déduire que la fonction F: x➝ sin(x²+x+1)+c
où c est une constante réelle, est une primitive de f sur IR.

Exemple 7 

2) Déterminer alors, la primitive F de f sur R s’annulant en 1.

Exemple 8
Soit f la fonction définie sur l’intervalle

En écrivant f(x) sous la forme de u'(x) + v'(x) où u et v sont deux fonctions dérivables
sur I, déterminer une primitive F de f sur I.

Exemple 9

a) Justifier que f est continue sur R
b) Vérifier que:
f(x)=u’(x).u²(x) où u est une fonction dérivable sur I = ]0, π[
et trouver alors, une primitive F de f sur l’intervalle I.