4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 22 Avec SolutionMathématique Terminale S ( Bac 2 SM) : Avril 2016
EXERCICE 1
Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
Partie A
Des études statistiques ont permis de modéliser le temps hebdomadaire, en heures, de connexion à internet des jeunes en France âgés de 16 à 24 ans par une variable aléatoire T suivant une loi normale de moyenne μ =13,9 et d’écart type σ.
La fonction densité de probabilité de T est représentée ci-dessous :
1. On sait que p(T ⩾ 22) =0,023.
En exploitant cette information :
a. hachurer sur le graphique donné en annexe, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0, 023 ;
b. déterminer P(5,8 ⩽ T ⩽ 22). Justifier le résultat. Montrer qu’une valeur approchée de σ au dixième est 4,1.
2. On choisit un jeune en France au hasard.
Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine. Arrondir au centième.
Partie B
Dans cette partie, les valeurs seront arrondies au millième. La Hadopi (Haute Autorité pour la diffusion des Œuvres et la Protection des droits sur Internet) souhaite connaître la proportion en France de jeunes âgés de 16 à 24 ans pratiquant au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet. Pour cela, elle envisage de réaliser un sondage. Mais la Hadopi craint que les jeunes interrogés ne répondent pas tous de façon sincère. Aussi, elle propose le protocole (P ) suivant :
On choisit aléatoirement un échantillon de jeunes âgés de 16 à 24 ans.
Pour chaque jeune de cet
échantillon :
• le jeune lance un dé équilibré à 6 faces ; l’enquêteur ne connaît pas le résultat du lancer ;
• l’enquêteur pose la question : « Effectuez-vous un téléchargement illégal au moins une fois par semaine ? » ;
■ si le résultat du lancer est pair alors le jeune doit répondre à
la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère ;
la question par « Oui » ou « Non » de façon sincère ;
■ si le résultat du lancer est « 1 » alors le jeune doit répondre « Oui » ;
■ si le résultat du lancer est « 3 ou 5 » alors le jeune doit répondre « Non ».
Grâce à ce protocole, l’enquêteur ne sait jamais si la réponse donnée porte sur la question posée ou résulte du lancer de dé, ce qui encourage les réponses sincères.
On note p la proportion inconnue de jeunes âgés de 16 à 24 ans qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet.
1. Calculs de probabilités
On choisit aléatoirement un jeune faisant parti du protocole (P ).
On note : R l’évènement « le résultat du lancer est pair »,
O l’évènement « le jeune a répondu Oui ».
Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
En déduire que la probabilité q de l’évènement « le jeune a répondu Oui » est :
2. Intervalle de confiance
a. À la demande de l’Hadopi, un institut de sondage réalise une enquête selon le protocole (P ).
Sur un échantillon de taille 1 500, il dénombre 625 réponses « Oui ».
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95 %, de la proportion q de jeunes qui répondent « Oui » à un tel sondage, parmi la population des jeunes français âgés de 16 à 24 ans.
b. Que peut-on en conclure sur la proportion p de jeunes qui pratiquent au moins une fois par semaine le téléchargement illégal sur internet?
EXERCICE 2
L’objectif de cet exercice est de trouver une méthode pour construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct
on considère le pentagone régulier A0A1A2A3A4, de centre O tel que
On rappelle que dans le pentagone régulier A0A1A2A3A4, ci-contre :
• les cinq côtés sont de même longueur ;
• les points A0A1A2A3A4 appartiennent au cercle trigonométrique ;
• pour tout entier k appartenant à{0 ; 1 ; 2 ; 3} on a
Calculer BJ, puis en déduire BK.
2. a. Donner sous forme exponentielle l’affixe du point A2. Justifier brièvement.
c. Un logiciel de calcul formel affiche les résultats ci-dessous, que l’on pourra utiliser sans justification :
« sqrt »signifie « racine carrée »
En déduire, grâce à ces résultats, que BA2 =BK.
3. Dans le repère
donné en annexe, construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
N’utiliser ni le rapporteur ni les graduations de la règle et laisser apparents les traits de construction.
EXERCICE 3
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [BF].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [CD].
Partie A
Dans cette partie, on ne demande aucune justification
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction :
• le point L ;
• l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) ;
• la section du cube par le plan (IJK).
Partie B
1. Donner les coordonnées de A, G, I, J et K dans ce repère.
2. a. Montrer que le vecteur AG est normal au plan (IJK).
b. En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).
3. On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel de l’intervalle [0 ; 1] tel que
a. N appartient au plan (IJK).
b. La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF).
EXERCICE 4
Partie A
où a et b sont des nombres entiers.
Le nombre 3a −5b est appelé le déterminant de M.
On le note det(M). Ainsi det(M) = 3a −5b.
1. Dans cette question on suppose que det(M) = 0 et
Justifier que N est l’inverse de M.
2. On considère l’équation (E) : det(M) =3.
On souhaite déterminer tous les couples d’entiers (a ; b) solutions de l’équation (E).
a. Vérifier que le couple (6 ; 3) est une solution de (E).
b. Montrer que le couple d’entiers (a ; b) est solution de (E)
si et seulement si 3(a − 6) = 5(b −3).
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
Partie B
En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de Q.
2. Codage avec la matrice Q
Pour coder un mot de deux lettres à l’aide de la matrice
on utilise la procédure ci-après :
Étape 1 :
où x1 est l’entier correspondant à la première
lettre du mot et x2 l’entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous :
Étape 3 : La matrice Y est transformée en la matrice
telle que r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 est le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
Étape 4 : À la matrice
on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l’étape 1.
Le mot JE est codé en le mot OF.
Coder le mot DO.
3. Procédure de décodage
On conserve les mêmes notations que pour le codage.
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice Y telle que Y =QX.c. Décoder le mot SG.
EXERCICE 5
Soit f la fonction définie sur ]0; 14] par
La courbe représentative C f de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal d’origine O ci-dessous :
À tout point M appartenant à C f on associe le point P projeté orthogonal de M sur l’axe des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l’axe des ordonnées.
• L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante
quelle que soit la position du point M sur C f ?
• L’aire du rectangle OPMQ peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point M correspondant.
Justifier les réponses.
EXERCICE 6
On souhaite stériliser une boîte de conserve. Pour cela, on la prend à la température ambiante T0 = 25 °C et on la place dans un four à température constante TF =100 °C. La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 85 °C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A :
Pour n entier naturel, on note Tn la température en degré Celsius de la boîte au bout de n minutes. On a donc T0 =25. Pour n non nul, la valeur Tn est calculée puis affichée par l’algorithme suivant :
1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.
Arrondir à l’unité.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a Tn = 100−75×0,85n.
3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
Partie B :
Dans cette partie, t désigne un réel positif.
On suppose désormais qu’à l’instant t (exprimé en minutes), la température de la boîte est donnée par f (t) (exprimée en degré Celsius) avec :
1. a. Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[.
b. Justifier que si t ⩾ 10 alors f (t)⩾ 85.
2. Soit θ un réel supérieur ou égal à 10.
On note A (θ) le domaine délimité par les droites d’équation t =10, t = θ,
y = 85 et la courbe représentative C f de f .
On considère que la stérilisation est finie au bout d’un temps θ, si l’aire,
exprimée en unité d’aire du domaine A (θ) est supérieure à 80.
a. Justifier, à l’aide du graphique donné en annexe, que l’on a A (25) > 80.
c. La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes?
Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )
4 math Le première clé pour être bon en maths