Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Fonction Exercice 09
f est une fonction définie sur IR*-{1}:
Tel que:
Tel que:
∀x∈IR*-{1}
\(f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{x-1}{x}\)
Calculer f(x)?
\(f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{x-1}{x}\)
Calculer f(x)?
Solution:
x réel tel que: x≠0 et x≠1
On a
\(f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{x-1}{x}\) ①
\(f(x)+f(\frac{x-1}{x})=\frac{x-1}{x}\) ①
on prend: \(y=\frac{x-1}{x}\)
on a:
\(f(y)+f(\frac{y-1}{y})=\frac{y-1}{y}\)
d’ où:
\(f(\frac{x-1}{x})+f(\frac{1}{1-x})=\frac{1}{1-x}\) ③
on prend: \(y=\frac{1}{1-x}\)
\(f(\frac{1}{1-x})+f(x)=x\)
①-②+③ donc:
\(f(x)=\frac{1}{2}\left[x+\frac{x-1}{x}-\frac{1}{1-x}\right]=\frac{x^{3}-x+1}{2 x(x-1)}\)