( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Olympiade Math – Algèbre 03 – Exercice 03
Soient x et y deux nombres réels non nuls.
Tel que:
x³ + y³ + 3x²y² = x³y³.
Déterminer toutes les valeurs possibles du nombre:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\).
Récrire l’équation sous la forme
x³ +y³ −x³y³ = −3x²y²,
Montrer que (x+y)3 −x3y3 = 3xy(−xy + x + y)
Utiliser l’identité remarquable
a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
pour démontrer que
(x+y)³−x³y³ = (x + y − xy)(x² + y² + 2xy + x²y + xy² + x²y²)
puis en déduire que
x + y − xy = 0 ①
ou x² + y² + 2xy + x²y + xy² + x²y² = 3xy ②
cas 1: ①
➝ x + y − xy = 0 Donc 1/x + 1/y =1.
cas 2: ②
2×②
➝ (x²+y²-2xy)+(x²y²+2xy²+y²)+(x²y²+2x²y+y²)=0
➝ (x−y)² + y²(x+1)² + x²(y+1)²=0
➝ x = y = −1
Donc 1/x + 1/y = −2