Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Algèbre 02 – Exercice 33
a,b et c sont des réels positifs
tels que a+b+c=1.
Trouver la valeur maximale de l’expression
\(\frac{1}{a²-4a+9}+\frac{1}{b²-4b+9}+\frac{1}{c²-4c+9}
*pour tout 0≤x≤1
On a :
(\frac{1}{x²-4x+9}≤\frac{x+2}{18})
calculons la différence:
A=(x+2)/18 – 1/(x²-4x+9)
A=(x+2)(x²-4x+9)-18
A=x³-4x²+9x+2x²-8x+18-18
A=x³-2x²+x A=x(x²-2x+1)=x(x-1)²≥0
* on pose x=a,b,c:
1/(a²-4a+9) ≤ (a+2)/18
1/(b²-4b+9) ≤ (b+2)/18
1/(c²-4c+9) ≤ (c+2)/18
d’où:
\(\frac{1}{a²-4a+9}+\frac{1}{b²-4b+9}+\frac{1}{c²-4c+9}≤\frac{1}{18}(a+b+c+6)=\frac{7}{18}\)
et puisque on a l’égalité pour a=0,b=0,c=1
la valeur maximale cherchée est \(\frac{7}{18}\)
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4 math .net
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