Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Math – Algèbre 02 – Exercice 32
Soit x,y des réels, Tel que:
\(\left\{\begin{array}{l} ax+by=3 \\ax²+by²=7 \\ ax³+by³=16\\ ax⁴+by⁴=42 \end{array}\right.\)
Calculer ax⁵+by⁵ ?
Solution:
* on a:
ax²+by²=7
(ax²+by²)(x+y)=7(x+y)
ax³+by³+ax²y+by²x=7(x+y)
16+xy(ax+by)=7(x+y)
16+3xy=7(x+y) ➀
* on a:
ax³+by³=16
(ax³+by³)(x+y)=16(x+y)
ax⁴+by⁴+xy(ax²+by²)=16(x+y)
42+7xy=16(x+y) ②
➀ & ② ⤵️
x+y=-14 & xy=-38
* on a:
ax⁴+by⁴=42
(ax⁴+by⁴)(x+y)=42(x+y)
ax⁵+by⁵+xy(ax³+by³)=42(x+y)
ax⁵+by⁵+16xy = 42(x+y)
ax⁵+by⁵+42(-14)=42(-14)
Donc: ax⁵+by⁵=20
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4 math .net et beaucoup de pratiques.
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