Soient x et y deux nombres réels
Tels que :
-1≤x≤1 & -1≤y≤1
1) Montrer que:
\(2\sqrt{(1-x²)(1-y²)}≤2(1-x)(1-y)+1\)
2) pour quelles valeurs de x et y l’égalité a lieu ?
Solution
1)
On a:
(a-b)²≥0
➝ 2ab≤a²+b²
* On pose:
a²=1-x² & b²=1-y²
①
il suffit de montrer que:
1-x²+1-y²≤ 2(1-x)(1-y)+1
Calculons la différence:
A=2(1-x)(1-y)+1-[1-x²+1-y²]
A=x²+y²-2x-2y+2xy+1
A=(x+y)²-2(x-y)+1
A=(x+y-1)²≥0
d’ou 1-x²+1-y²≤ 2(1-x)(1-y)+1 ②
Donc:
2) Si on a égalité:
(a)
d’après ①⤵️
2(1-x)(1-y)+1≤1-x²+1-y²
d’après ②⤵️
1-x²+1-y²≤ 2(1-x)(1-y)+1
d’ où:
➝ 2(1-x)(1-y)+1=1-x²+1-y²
➝ (x+y-1)²=0
➝ x+y=1 (a)
On prend le cas suivante:
1-x²=1-y²
x²-y²=0
x-y=0 (b)
(a)+(b)
2x=1➝ x=1/2
L’égalité est réalisée si et seulement si x=y=1/2.
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