Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 50

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Résoudre dans IR l’équation suivante:

\(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}=3\)

Solution

On pose:
\(x+2=t ➝ x=t-2\)
\(\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}+\frac{x+2}{x+3}=3\)
➝ \(\frac{t-2}{t-1}+\frac{t-1}{t}+\frac{t}{t+1}=3\)
➝\(\frac{t-2}{t-1}+\frac{t}{t+1}=3-\frac{t-1}{t}\)
➝ \(\frac{t²-t-2}{t²-t}=\frac{3t-t+1}{t}\)
➝ (2t²-2t-2)xt = (2t+1)(t²-1)
➝ 2t³-2t²-2t= 2t³-2t+t²-1
➝ 3t²=1
t=\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ou t=\(\frac{-1}{\sqrt{3}}\)
puisque: x=t-2
Donc:
x=\(\frac{1}{\sqrt{3}}-2\) ou x=\(\frac{-1}{\sqrt{3}}-2\)