Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 48

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 48

Trouver tous les nombres naturels  x, y
 Tel  que: x⁵ = y⁵  + 10y² + 20y + 1.

Voir Solution


* On a:
x⁵ = y⁵  + 10y² + 20y + 1.
& 10y² + 20y + 1 ≥ 0
➝ x⁵ > y⁵ ➀
* d’autre part:
(y+1)⁵ = y⁵+5y⁴+10y³+10y²+5y+1
& 5y⁴+10y³ ≥ 15y²
➝ y⁵+5y⁴+10y³+10y²+5y+1 ≥ y⁵ + 10y² + 20y + 1.
➝ (y+1)⁵ ≥ x⁵ ②
➀ & ② 
➝ y⁵ < x⁵ ≤ (y+1)⁵
➝ y < x ≤ (y+1)
➝ x = y+1

* d’ou:
on a : x⁵ = y⁵  + 10y² + 20y + 1.
➝ (y+1)⁵ = y⁵  + 10y² + 20y + 1.
➝ 5y⁴+10y³-15y+1= 0
➝ y⁴+2y³-3y+1= 0
➝ y(y-1)(y²+3y+3)=0
➝ y=0 ou y=1 (y²+3y+3>0)
Donc: (x,y)=(1,0) ou (2,1)


Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
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