Olympiade Math – Fonction – Ex 03

Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️Olympiade Math – Fonction Exercice 03

Soit la fonction f : IN → Q
Tel que: 
* f(1)=2019
* f(1)+f(2)+…..f(n)=n²f(n)

Calculer f(2019)?

Solution

On a 
f(1)+f(2)+…..f(n)=n²f(n)
➝ f(1)+f(2)+…..f(n-1)+f(n)=n²f(n)
➝ (n-1)²f(n-1)+f(n)=n²f(n)
➝ (n²-1)f(n)=(n-1)²f(n-1)
➝ f(n)=[(n-1)/(n+1)]xf(n-1)

Pour
* n=2: f(2)=(1/3) x f(1)
* n=3:f(3)=(2/4) x f(2)
* n=4:f(4)=(3/5) x f(3)
……
*n=n: f(n)=[(n-1)/(n+1)]xf(n-1)

Produit terme par terme:
f(2)f(3)….f(n)=
[1x2x3…x(n-1)] / [3x4..x(n+1)]xf(1)…xf(n-1)
➝ f(n)=2f(1)/n(n+1)
➡️ f(2019)=2/(2019+1)=1/1010

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
site officiel de l’OIM, fondation de l’OIM

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