Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 14
n un entier naturel. Montrer que :
a) si n est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
alors : 2n – 1 est le carré d’un entier.
b) si 2n – 1 est le carré d’un entier, alors n est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
Solution
a) Si n est la somme des carrés de deux entiers naturels cons.
➝ n = p² + (p + 1)² (p∈IN)
➝ 2n-1=2p²+2p²+4p+2-1
➝ 2n-1=(2p+1)²
➡️ 2n-1 est bien le carré d’un entier.
b) si 2n – 1 est le carré d’un entier.
c’est nécessairement le carre d’un
entier impair.
➝2n – 1=(2p+1)²
= 4p²+4p+1
➝ n= 2p²+2p+1
= p²+2p+1+p²
= (p+1)²+p²
➡️ n est la somme des carrées de deux entiers consécutifs p et p + 1.
a) si n est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
alors : 2n – 1 est le carré d’un entier.
b) si 2n – 1 est le carré d’un entier, alors n est la somme des carrés de deux entiers consécutifs.
Solution
a) Si n est la somme des carrés de deux entiers naturels cons.
➝ n = p² + (p + 1)² (p∈IN)
➝ 2n-1=2p²+2p²+4p+2-1
➝ 2n-1=(2p+1)²
➡️ 2n-1 est bien le carré d’un entier.
b) si 2n – 1 est le carré d’un entier.
c’est nécessairement le carre d’un
entier impair.
➝2n – 1=(2p+1)²
= 4p²+4p+1
➝ n= 2p²+2p+1
= p²+2p+1+p²
= (p+1)²+p²
➡️ n est la somme des carrées de deux entiers consécutifs p et p + 1.
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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