Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 39
Trouver tous les nombres naturels x, y, z
tel que :
x < y < z
et x + y + z + xy + yz + zx + xyz = 2019.
tel que :
x < y < z
et x + y + z + xy + yz + zx + xyz = 2019.
calculons:
(1 + x)(1 + y)(1 + z)=
x + y + z + xy + xz + yz + xyz+1
* L’égalité se réécrit donc :
(1 + x)(1 + y)(1 + z)-1=2019
➝ (1 + x)(1 + y)(1 + z)=2020 (1)
* comme on a:
0 < x < y < z➝1 < 1 + x < 1 + y < 1 + z
* décomposition en facteurs premiers de 2020
2020=2x2x5x101
* cas 1:
2020=2x10x101
(1)
1+x=2 ; 1+y=10 ; 1+z=101
x=1 ; y=9 ; z=100
* cas 2:
2020=2x5x202
(1)
1+x=2 ; 1+y=5 ; 1+z=202
➝ x=1; y=4;z=201
* cas 3:
2020=4x5x101
(1)
1+x=4 ; 1+y=5 ; 1+z=101
➝ x=3; y=4;z=100
➡S= (1,9,100);(1,5,202);(3,9,100)
(1 + x)(1 + y)(1 + z)=
x + y + z + xy + xz + yz + xyz+1
* L’égalité se réécrit donc :
(1 + x)(1 + y)(1 + z)-1=2019
➝ (1 + x)(1 + y)(1 + z)=2020 (1)
* comme on a:
0 < x < y < z➝1 < 1 + x < 1 + y < 1 + z
* décomposition en facteurs premiers de 2020
2020=2x2x5x101
* cas 1:
2020=2x10x101
(1)
1+x=2 ; 1+y=10 ; 1+z=101
x=1 ; y=9 ; z=100
* cas 2:
2020=2x5x202
(1)
1+x=2 ; 1+y=5 ; 1+z=202
➝ x=1; y=4;z=201
* cas 3:
2020=4x5x101
(1)
1+x=4 ; 1+y=5 ; 1+z=101
➝ x=3; y=4;z=100
➡S= (1,9,100);(1,5,202);(3,9,100)
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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