Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 44

Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 44

a,b et c trois nombres naturels non nuls tel que:
a²=b+c  ;  b²=c+a  ;  c²=a+b

Calculer: 1/a+1/b+1/c

Solution

* on a:
a²=b+c
b²=c+a
c²=a+b
* on faisant la somme:
a²+b²+c²=b+c+c+a+a+b
➝ a²+b²+c²=2a+2b+2c
➝ a²-2a+1+b²-2b+1+c²-2c+1=3
➝ (a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=3
➝ [(a-1)²-1]+[(b-1)²-1]+[(c-1)²-1]=0 ①
d’autre part:
a>0
➝  (a-1)²>1
➝  (a-1)²-1>0

①:Somme trois nombres positifs est nul forcément ces nombres sont nuls


d’ou;
(a-1)²-1=0 et (b-1)²-1=0 et (c-1)²-1=0
➝  (a-1)²-1=0 et (b-1)²-1=0 et (c-1)²-1=0