Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 42

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 42

x,y,z des réels positifs.
Tel que xyz=1.

Montrer que: x³ + y³ + z³ ≥ 3.

Voir solution

on a:
 x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx) ①
x,y,z positifs
➝ x+y+z≥0 
d’autre part:
x²+y²≥2xy, x²+z²≥2xz, y²+z²≥2yz
➝ 2(x²+y²+z²)≥2(xy+yz+zx)
➝ x²+y²+z²≥xy+yz+zx
①⤵️
x³+y³+z³≥3xyz
donc: x³+y³+z³≥3

Liens utiles :

L’Olympiade Internationale de Mathématiques (OIM)
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