lympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Olympiade Mathématiques – Arithmétique Niveaux 02 – Ex 03
Déterminer toutes les fonctions f : Z→Z
Telles que:
∀ n ∈ Z: f(x+y) = f(x)+f(y)
Déterminer toutes les fonctions f : Z→Z
Telles que:
∀ n ∈ Z: f(x+y) = f(x)+f(y)
Soit f une solution.
* Pour x = y = 0:
➝f(0) = 2f(0)➝ f(0) = 0.
* Calculons f(1)
* Pour y = 1:
➝f(x + 1) = f(x) + f(1).(x∈Z).
* Pour y = 2:
➝f(2) = f(1+1)=2f(1)
on pose f(1)=a
➝f(2)=2a;f(3)=3a;……f(n) = na avec n∈IN.
(Démonstration par récurrence)
➝f(n) = na ∀n∈IN①
d’autre part
Si n∈Z⁻ (n entier relatif négative)
on pose n=-m avec m∈IN.
* Pour y=-m & x=m:
on a f(x+y) = f(x)+f(y)
➝f(0)=f(m) + f(-m) avec f(0)=0.
➝f(-m) = -f(m). avec f(m)=ma d’après ①
➝f(-m)=-ma
➝f(n) = na ∀n∈Z⁻②
①&② 
f(n) = an ∀n∈Z
Réciproquement
la fonction f(n) = an avec a,n ∈Z
est bien une solution du problème.
f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y).