Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Olympiade Math – Algèbre 03 – Exercice 01
Trouver tous les nombres réels x, y, z non nuls vérifiant :
\(\left\{\begin{array}{l}(x+1) yz=12 \\(y+1) z x=4 \\(z+1) x y=4\end{array}\right.\)
Soit (x; y; z) une solution. (x; y; z) ≠ (0,0,0)
on a
(y + 1)zx = 4 ⇾ 4-xyz=xz
(z + 1)xy = 4 ⇾ 4-xyz=xy
d’ou zx = xy
➝ z = y.
les nouveaux équation
(x+1)y²=12 ⇾ xy²=12-y² ①
(y+1)xy=4 ⇾ xy²=4-xy
⇾ 12-y²=4-xy
⇾ xy=y²-8 (multiplier par y)
⇾ xy²=y³-8y (utilisant ①)
⇾ 12-y²=y³-8y
⇾ y³+y²-8y-12=0 (3 racine )
⇾ (y-3)(y+2)²=0
➝ y=z= 3 ➝ x= 1/3
ou ➝ y=z=-2 ➝ x= 2
Réciproquement, les triplets (2;-2;-2) et ( 1/3 ; 3; 3)
sont solution et ce sont donc les seules.