Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 32
1- a,b,c trois nombres réels.
Montrer que:
(a+b+c)² ≤ 3(a²+b²+c²)
2- x,y,z des nombres réels strictement positifs.
tel que: x+y+z=1.
Montrer que:
Solution
1- calculer la différence et déterminer le signe de la différence des deux nombres:A=3(a²+b²+c²)-(a+b+c)²
A= 3a²+3b²+3c²-a²-b²-c²-2ab-2ac-2bc
A= 3a²+3b²+3c²-a²-b²-c²-2ab-2ac-2bc
A= a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b²-2bc+c²
A= (a+b)²+(a+c)²+(b+c)² ≥0
➨(a+b+c)² ≤ 3(a²+b²+c²) ①
2- d’après question 1
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