Olympiade de Mathématique( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 28
x,y et z trois nombres réels strictement positifs,Montrer que:
Solution
on a
2x = (x+y)+(x+z)-(y+z)
⇾ 2x /(y+z) = (1) (x+y) /(y+z) + (2) (x+z) /(y+z) -1 ①
de même pour⇾ 2y /(z+x) = (3) (y+z) /(z+x) + (4)(y+x) /(z+x) -1 ②⇾ 2z /(x+y) = (5)(z+x) /(x+y) + (6)(z+y) /(x+y) -1 ③
①+②+③ = 2x /(y+z) + 2y /(z+x) + 2z /(y+z)
①+②+③ = (1)+(6) [ (x+y) /(y+z) + (y+z) /(y+x) ] (a)
+ (2)+(3)[ (x+z) /(y+z) + (y+z) /(z+x) ] (b)
+ (4)+(5)[ (y+x) /(z+x) + (z+x) /(x+y) ] (c)
d’autre part o na a/b + b/a ≥ 2
pour (a) a=x+y et b=y+z
⇾ (x+y) /(y+z) + (y+z) /(y+x) ≥ 2 ⇾ (a) ≥ 2
de même pour pour (b) ≥ 2 et (c) ≥ 2
conclusion
➝ 2x /(y+z) + 2y /(z+x) + 2z /(y+z) ≥ 6 ↴
donc:
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