Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
▶️ Olympiade Mathématiques – Arithmétique – Niv 01 – Exercice 01 –
En additionnant deux à deux les cinq nombres x, y, z, u, v
vérifiant : x < y < z < u < v,
on obtient les dix sommes :
21, 26, 35, 40, 49, 51, 54, 60, 65, 79.
Déterminer les nombres x, y, z, u, v.
Voir Solution 1
On a
x + y=21 ➀( plus petite de toutes les sommes)
Après la plus petite de toutes les sommes on trouve
x + z=26② ( plus grande de toutes les sommes)u + v=79 ③( plus grande de toutes les sommes)
Avant la plus grande de toutes les sommes on trouve
z + v=65 ④
Additionne les dix sommes
⇾ (x+y)+(x+z)….(z+v)+(u+v)=480
⇾ 4 (x+y+z+u+v)=480
⇾ x+y+z+u+v =120 ⑤
⑤-➀-③⇾ z=20
③⇾ u=79-v ⇾ u=34
④⇾ v=65-z ⇾ v=45
②⇾ x=26-z ⇾ x=6
➀⇾ y=21-x ⇾ y=15
Voir Solution Prof Faiz.M
On note l’ensemble E={A1;A2;…;A2019}
où les Ai sont des nombres quelconques.
On sait d’après l’énoncé de l’exercice que la somme des éléments de chacune des combinaisons de 100 éléments de E est un nombre positif!
Autrement dit; Ai1+Ai2+…+Ai100>0
où les ij éléments indexés appartiennent bien à l’ensemble {1;2;…;2019} .
On contenue sur la même démarche, en faisant une sommation encore une fois sur chaque somme des éléments de toutes les combinaisons de 100 éléments de E, et comme il y’en a donc C(100;2019) combinaisons différentes
On trouve alors que
Sum i=1_i=C(100;2019) [Ai1+Ai2+…+Ai100] >0.
Avant de conclure, il va falloir calculer cette somme en fonction de tous les éléments de l’ensemble de départ E={A1;A2;…;A2019}, et pour cela on va raisonner à l’aide de l’analyse combinatoire sur le nombre de fois d’apparition de chacun des éléments de E dans cette somme.
Quand on fixe un éléments Aij de chacune des combinaisons {Ai1;Ai2;…;Ai100} de E, il va systématiquement réagir et intervenir avec les 99 restants parmi les 2018 éléments de E.
Alors chaque élément Ai de E fixé, ça va se répéter dans cette somme C(99;2018) fois.
Par conséquent; Sum i=1_i=c(100;2019) [Ai1+Ai2+…+Ai100]= C(99;2018)*[A1+A2+…+A2019].
Par ailleurs Sum i=1_i=c(100;2019) [Ai1+Ai2+…+Ai100] >0
Équivaut à C(99;2018)*[A1+A2+…+A2019]>0
Donc [A1+A2+…+A2019]>0. CQFD
Exemple typique:
On note E={A1; A2; A3; A4}
Supposons que la somme tous les 2 éléments de E est positive
Alors Sum i=1_i=c(2;4) [Ai1+Ai2]=(A1+A2)+(A1+A3)+(A1+A4)+(A2+A3)+(A2+A4)+(A2+A4)= C(1;3)*[A1+A2+…+A4]=3*[A1+A2+…+A4]
Comme Ai1+Ai2>0 pour tous les ij de {1;2;3;4}.
On en déduit que A1+A2+…+A4>0
NB: les exercices de l’analyse combinatoire font chez les candidatures aux olympiades de mathématiques la bête noire.
pour les élèves qui aiment
« comprendre », « résoudre » et découvrir de nouvelles façons de raisonner
