Cet examen simili 3 de maths 2 SPC-SVT pour la 2ème Bac PC et SVT est proposé avec un corrigé détaillé étape par étape pour s’entraîner dans les conditions de l’examen. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.
Simili 3 – Maths 2 SPC-SVT
Exercice 01Équation différentielle, fonction exponentielle et suite de la forme un+1 = f(un)
I.
On considère l’équation différentielle suivante : (E) : y″ − 2y′ + y = 0.
01. Résoudre l’équation (E).
Équation caractéristique : r2 − 2r + 1 = (r − 1)2 = 0, racine double r = 1.
y(x) = (Ax + B)ex, (A, B) ∈ ℝ2.
02. Déterminer la fonction h qui vérifie l’équation (E) et sa courbe passe par le point O(0 ; 0) et h′(0) = −1.
h(x) = (Ax + B)ex et h′(x) = (Ax + A + B)ex.
h(0) = B = 0 et h′(0) = A + B = −1, donc A = −1.
h(x) = −xex.
03. Vérifie que : la fonction g(x) = 2 − xex vérifie l’équation (E1) : y″ − 2y′ + y = 2.
g′(x) = −(1 + x)ex et g″(x) = −(2 + x)ex.
g″ − 2g′ + g = −(2 + x)ex + 2(1 + x)ex + 2 − xex = ex(−2 − x + 2 + 2x − x) + 2 = 2
g est solution de (E1). ✓
II.
On considère la fonction g définie sur ℝ par g(x) = 2 − xex.
01. Calculer : limx→+∞ g(x) et limx→−∞ g(x).
En +∞ : xex → +∞ donc g(x) → −∞. En −∞ : xex → 0 (croissances comparées) donc g(x) → 2.
limx→+∞ g(x) = −∞ et limx→−∞ g(x) = 2.
02.
a. Calculer g′ la fonction dérivée de g sur ℝ ; puis donné le tableau de variation de g sur ℝ.
g′(x) = −(1 + x)ex a le signe de −(1 + x). g(−1) = 2 + 1e.
| x | −∞ | −1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| g′(x) | + | 0 | − | ||
| g(x) | 2 | ↗ | 2 + 1e | ↘ | −∞ |
b. Montrer qu’il existe un réel unique α tel que g(α) = 0 et 0,8 < α < 0,9.
Sur ]−∞ ; −1], g(x) > 2 (g croît de 2 à 2 + 1e) : pas de solution.
Sur [−1 ; +∞[, g est continue et strictement décroissante de 2 + 1e > 0 à −∞ : elle s’annule exactement une fois (théorème des valeurs intermédiaires).
g(0,8) = 2 − 0,8e0,8 ≈ 0,22 > 0 et g(0,9) = 2 − 0,9e0,9 ≈ −0,21 < 0.
Il existe un réel unique α tel que g(α) = 0, et 0,8 < α < 0,9.
c. On déduit que le signe g(x) suivant les valeurs de x de ℝ.
g(x) > 0 pour x < α, g(α) = 0 et g(x) < 0 pour x > α.
III.
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2x + 2ex + 2 et (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, i, j) ( unité de mesure est 2 cm ).
01. Calculer : limx→+∞ f(x) puis donner une inter présentation géométrique du résultat obtenu.
f(x) = 2x + 2ex + 2 = 2x + 2ex × 11 + 2e−x → 0 car xex → 0.
limx→+∞ f(x) = 0 : la droite y = 0 (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à (Cf) au voisinage de +∞.
02. Calculer : limx→−∞ f(x).
Quand x → −∞, ex → 0 donc f(x) ~ 2x + 22 = x + 1.
limx→−∞ f(x) = −∞.
03. Montrer que la courbe (Cf) de f admet une asymptote oblique la droite (Δ1) au voisinage de −∞ et déterminer son équation.
f(x) − (x + 1) = 2x + 2 − (x + 1)(ex + 2)ex + 2 = −(x + 1)exex + 2 → 0 quand x → −∞ (xex → 0 et ex → 0).
(Δ1) : y = x + 1 est asymptote oblique à (Cf) au voisinage de −∞.
04.
a. Etudier la position relative de (Cf) et la droite (Δ1).
f(x) − (x + 1) = −(x + 1)exex + 2 a le signe de −(x + 1).
(Cf) est au-dessus de (Δ1) pour x < −1, au-dessous pour x > −1, et la coupe au point (−1 ; 0).
b. Etudier la position relative de (Cf) et la droite (Δ) d’équation y = x.
f(x) − x = 2x + 2 − x(ex + 2)ex + 2 = 2 − xexex + 2 = g(x)ex + 2
(Cf) est au-dessus de (Δ) pour x < α, au-dessous pour x > α, et la coupe au point (α ; α).
05.
a. Montrer que : pour tout x de ℝ on a f′(x) = 2g(x)(2 + ex)2.
f′(x) = 2(ex + 2) − (2x + 2)ex(ex + 2)2 = 2ex + 4 − 2xex − 2ex(ex + 2)2 = 4 − 2xex(ex + 2)2.
f′(x) = 2(2 − xex)(2 + ex)2 = 2g(x)(2 + ex)2. ✓
b. On déduit le signe de f′(x).
f′(x) a le signe de g(x) : f′(x) > 0 pour x < α, f′(α) = 0, f′(x) < 0 pour x > α.
c. Démontrer que : f(α) = α.
g(α) = 0 donne αeα = 2, donc eα = 2α. Alors f(α) = 2α + 22α + 2 = (2α + 2)α2 + 2α = α. ✓ (c’est aussi f(α) − α = g(α)eα + 2 = 0).
d. Dresser le tableau des variations de f.
| x | −∞ | α | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − | ||
| f(x) | −∞ | ↗ | α | ↘ | 0 |
e. Construire dans le repère (O, i, j) la courbe (Cf) et les deux droites (Δ1) et (Δ).
Figure : (Cf) en bleu, les droites (Δ1) : y = x + 1 et (Δ) : y = x, l’asymptote y = 0, la courbe de k−1 en vert, et les premiers termes de la suite (un) de la partie IV.
06. On considère la fonction k la restriction de f sur I = [−1 ; α].
a. Montrer que : k est une bijection de I vers J ; on détermine J.
f est continue et strictement croissante sur [−1 ; α] (f′ > 0 sur [−1 ; α[). Donc k est une bijection de I sur J = [f(−1), f(α)].
f(−1) = 0 et f(α) = α.
J = [0 ; α].
b. Vérifier que : k(0) = 23 puis déterminer (k−1)′(23).
k(0) = f(0) = 21 + 2 = 23. ✓
k est dérivable en 0 avec k′(0) = f′(0) = 2g(0)(2 + 1)2 = 49 ≠ 0, donc k−1 est dérivable en 23 :
(k−1)′(23) = 1k′(0) = 94.
c. Construire (Ck−1) la courbe représentative de k−1 dans le même repère (O, i, j).
(Ck−1) est le symétrique de la partie de (Cf) sur [−1 ; α] par rapport à la droite (Δ) : y = x (courbe verte de la figure).
07. On considère la suite numérique (un)n∈ℕ définie par : u0 = 12 et un+1 = f(un) ; n ∈ ℕ.
a. Montrer par récurrence que : ∀n ∈ ℕ ; 0 ≤ un ≤ α.
f est croissante sur [0, α], donc f([0, α]) = [f(0), f(α)] = [23 ; α] ⊂ [0, α].
Initialisation : u0 = 0,5 ∈ [0, α] car α > 0,8. Hérédité : si un ∈ [0, α] alors un+1 = f(un) ∈ [0, α].
∀n ∈ ℕ, 0 ≤ un ≤ α.
b. On utilise (Cf) et la droite (Δ) présenter sur l’axe des abscisses : u0 et u1 et u2.
u1 = f(12) = 3√e + 2 ≈ 0,82 et u2 = f(u1) ≈ 0,85. Voir l’escalier tracé sur la figure.
c. Donner la conjoncture sur la monotonie de (un).
Conjecture : la suite (un) est croissante.
d. Prouver la validité de la conjoncture.
un+1 − un = f(un) − un = g(un)eun + 2. Comme 0 ≤ un ≤ α, g(un) ≥ 0.
un+1 − un ≥ 0 : la suite (un) est croissante.
e. On déduit que : (un) est convergente.
(un) est croissante et majorée par α : elle converge.
f. Déterminer la limite de (un).
Soit ℓ = lim un ∈ [0, α]. f est continue, donc f(ℓ) = ℓ, soit g(ℓ) = 0, donc ℓ = α (unicité de α).
lim un = α.
Exercice 02Nombres complexes
I.
On considère l’équation suivante : (E) : z ∈ ℂ, z2 − 2z + 5 = 0.
01. Déterminer z1 et z2 les deux solutions de (E) tel que Im(z1) > 0.
Δ = 4 − 20 = −16 = (4i)2.
z1 = 1 + 2i et z2 = 1 − 2i.
02. On déduit la solution générale de l’équation différentielle suivante : (E1) : y″ − 2y′ + 5y = 0.
Les racines de l’équation caractéristique sont 1 ± 2i.
y(x) = ex(A cos 2x + B sin 2x), (A, B) ∈ ℝ2.
II.
Soit le nombre complexe : a = 1 + i(2 − √3).
01. Montrer que : le module de a est √6 − √2.
|a|2 = 1 + (2 − √3)2 = 1 + 4 − 4√3 + 3 = 8 − 4√3, et (√6 − √2)2 = 6 + 2 − 2√12 = 8 − 4√3.
|a| = √6 − √2 (positif car √6 > √2).
02. Vérifier que : a = 2 sin π6 + 2i(1 − cos π6).
2 sin π6 = 2 × 12 = 1 et 2(1 − cos π6) = 2(1 − √32) = 2 − √3.
a = 1 + i(2 − √3). ✓
03.
a. θ est un nombre réel montrer que : 1 − cos 2θ = 2 sin2 θ ( on rappel que cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ ).
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ = 1 − 2 sin2 θ (car cos2 θ = 1 − sin2 θ).
1 − cos 2θ = 2 sin2 θ. ✓
b. Montrer que : a = 4 sin π12 cos π12 + 4i sin2 π12. ( on rappel que sin 2θ = 2 cos θ sin θ ).
Avec θ = π12 (donc 2θ = π6) : 2 sin π6 = 4 sin π12 cos π12 et 2(1 − cos π6) = 4 sin2 π12.
a = 4 sin π12 cos π12 + 4i sin2 π12. ✓
c. Montrer que 4 sin π12 (cos π12 + i sin π12) et qui représente la forme trigonométrique de a puis on déduit la valeur de sin π12.
On factorise : a = 4 sin π12 (cos π12 + i sin π12) avec 4 sin π12 > 0 : c’est bien la forme trigonométrique de a, de module 4 sin π12 et d’argument π12.
Or |a| = √6 − √2, donc 4 sin π12 = √6 − √2.
sin π12 = √6 − √24.
III.
Dans le plan complexe (P) rapporté a un repère orthonormé (O, u, v) ; on considère les points A et B d’affixes respectivement a = 1 + i(2 − √3) et b. Soit R la rotation de centre O origine du repère et d’angle π2.
01. Donner la forme trigonométrique de b l’affixe de B image de A par la rotation R.
b = eiπ/2 a = ia. Donc |b| = |a| = √6 − √2 et arg b = π12 + π2 = 7π12.
b = (√6 − √2)(cos 7π12 + i sin 7π12).
(Forme algébrique : b = ia = −(2 − √3) + i.)
Exercice 03Probabilité
Dans un laboratoire d’essaies scientifiques un cage contient 5 lapins indiscernables au touche dont 2 lapins de la catégorie 2 et 2 lapins de la catégorie 5 et 1 lapin de la catégorie 4.
I.
On considère l’expérience suivante : un chercheur tire au hasard et simultanément deux lapins de la cage sachant que tous les lapins ont même probabilités d’être tirés.
01. Calculer probabilité de l’événement suivante C : « les 2 lapins tirés sont de même catégorie ».
card Ω = C(5, 2) = 10. Même catégorie : les deux lapins « 2 » ou les deux lapins « 5 » : C(2, 2) + C(2, 2) = 2.
p(C) = 210 = 15.
02. Calculer probabilité de l’événement suivante D : « les 2 lapins tirés n’ont pas même parité de la catégorie ».
Catégories paires : 2, 2, 4 (3 lapins) ; impaires : 5, 5 (2 lapins). Un pair et un impair : 3 × 2 = 6.
p(D) = 610 = 35.
II.
Soit la variable aléatoire X définie par « il associe à chaque tirage le produit des numéros de leurs catégories ».
01. Déterminer les valeurs de la variable aléatoire X.
Produits possibles : 2×2 = 4 ; 2×5 = 10 ; 2×4 = 8 ; 5×5 = 25 ; 5×4 = 20.
X(Ω) = {4, 8, 10, 20, 25}.
02. Déterminer la loi de probabilité de X.
(X = 4) : 1 tirage ; (X = 8) : 2 × 1 = 2 ; (X = 10) : 2 × 2 = 4 ; (X = 20) : 2 × 1 = 2 ; (X = 25) : 1. Total 10 ✓.
| xi | 4 | 8 | 10 | 20 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 110 | 210 | 410 | 210 | 110 |
03. Est-ce que les événements C et (X = 10) sont indépendants.
C = {(2,2) ; (5,5)} et (X = 10) = tirages « un 2 et un 5 » : ces deux événements sont incompatibles, donc p(C ∩ (X = 10)) = 0.
Or p(C) × p(X = 10) = 15 × 25 = 225 ≠ 0.
C et (X = 10) ne sont pas indépendants.
III.
On répète l’expérience précédente quatre fois et à chaque fois on remet les lapins au cage avant de répété l’expérience.
01. Calculer la probabilité de l’événement K « l’événement C se réalise une fois et une seule lorsqu’on répète l’expérience quatre fois ».
p(K) = C(4, 1) × 15 × (45)3 = 4 × 64625 = 256625.
02. On considère la variable aléatoire Y définie par « le nombre de fois l’événement C est réalisé lorsqu’on répète l’expérience précédent quatre fois ».
a. Comment on appelle la variable aléatoire Y et on précise ses paramètres.
Y suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 15 : Y ↪ ℬ(4, 15).
b. Donner l’ensemble Y(Ω) ( ensemble des valeurs de Y ).
Y(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4}.
c. Donner p(Y = k) avec k ∈ Y(Ω).
p(Y = k) = C(4, k) (15)k (45)4−k.
d. Calculer : l’espérance mathématique E(Y) ; la variance V(Y) et l’écart-type σ(Y).
E(Y) = np = 4 × 15 = 45
V(Y) = np(1 − p) = 4 × 15 × 45 = 1625
σ(Y) = √1625 = 45
Exercice 04Probabilité (tirage de cartes)
Pour déterminer deux questions a un examen d’orale ; l’étudiant tire au hasard deux cartes l’une après l’autre d’une boite contenant 6 cartes qui concernent les questions de mathématique ( on les désigne par m ) et 4 cartes qui concernent les questions de la physique ( on les désigne par p ) ; on suppose que les cartes sont indiscernables au touche.
01. Compléter l’arbre de probabilités.
Premier tirage : m avec 610, p avec 410. Deuxième tirage (sans remise, 9 cartes restantes) :
- après m (5 m et 4 p restantes) : m avec 59 et p avec 49 ;
- après p (6 m et 3 p restantes) : m avec 69 = 23 et p avec 39 = 13.
02. On considère les événements suivants : A « les deux cartes tirées sont de la physique » ; B « les deux cartes tirées ne sont pas de la même matière ». Montrer que : p(A) = 215 et p(B) = 815.
p(A) = p(p puis p) = 410 × 39 = 1290 = 215. ✓
p(B) = p(m puis p) + p(p puis m) = 610 × 49 + 410 × 69 = 2490 + 2490 = 4890 = 815. ✓
03. On considère la variable aléatoire X définie par « il associe à chaque tirage de deux cartes le nombre de cartes de physique tirées ».
a. Déterminer les valeurs de la variable aléatoire X.
X(Ω) = {0, 1, 2}.
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
p(X = 2) = p(A) = 215 ; p(X = 1) = p(B) = 815 ; p(X = 0) = p(m puis m) = 610 × 59 = 3090 = 515.
| xi | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 515 | 815 | 215 |
Somme : 5 + 8 + 215 = 1 ✓.
Exercice 05Produit scalaire dans l’espace et produit vectoriel
Dans l’espace (ℰ) est rapporté au repère orthonormé direct (O, i, j, k) on considère : les deux points A(2, 0, −1) et B(0, −3, 4) et C(−1, 2, 0).
01.
a. Montrer que : AB ∧ AC = −13i − 13j − 13k.
AB = (−2 ; −3 ; 5) et AC = (−3 ; 2 ; 1).
AB ∧ AC = ((−3)(1) − 5×2 ; 5×(−3) − (−2)(1) ; (−2)(2) − (−3)(−3)) = (−13 ; −13 ; −13)
AB ∧ AC = −13i − 13j − 13k. ✓
b. Est-ce que les points A et B et C sont alignés.
Non : AB ∧ AC ≠ 0, donc AB et AC ne sont pas colinéaires.
c. Déterminer les cordonnés du vecteur : AB ∧ AC. Est-ce que les points A et B et C sont alignés.
AB ∧ AC a pour coordonnées (−13 ; −13 ; −13) ≠ 0 : A, B, C ne sont pas alignés.
d. On déduit qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : x + y + z − 1 = 0.
Le vecteur (1 ; 1 ; 1) (colinéaire à AB ∧ AC) est normal au plan : x + y + z + d = 0. A ∈ (ABC) : 2 + 0 − 1 + d = 0, donc d = −1.
(ABC) : x + y + z − 1 = 0. (Vérification : B : 0 − 3 + 4 − 1 = 0 ✓ ; C : −1 + 2 + 0 − 1 = 0 ✓.)
e. Calculer : la surface du triangle ABC.
S = 12 ‖AB ∧ AC‖ = 12 × 13√3 = 13√32 unités d’aire.
02.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par Ω(5, 0, 2) et orthogonale au plan (ABC).
(Δ) : x = 5 + t, y = t, z = 2 + t, t ∈ ℝ.
b. Vérifie que la projection orthogonale du point Ω sur le plan (ABC) est le point H(3, −2, 0).
On remplace dans x + y + z − 1 = 0 : (5 + t) + t + (2 + t) − 1 = 3t + 6 = 0, donc t = −2.
H(3 ; −2 ; 0). ✓
c. Vérifie que la distance r = ΩH = 2√3.
ΩH = (−2 ; −2 ; −2).
ΩH = √4 + 4 + 4 = 2√3. ✓
d. Déterminer l’équation cartésienne du sphère (S1) de centre Ω et de rayon r = ΩH = 2√3.
(S1) : (x − 5)2 + y2 + (z − 2)2 = 12.
e. Déterminer la position relative du plan (ABC) et la sphère (S1).
La distance de Ω au plan (ABC) est ΩH = 2√3 = r.
Le plan (ABC) est tangent à la sphère (S1) au point H.
03. Soit (S2) l’ensemble des points M(x, y, z) de l’espace (ℰ) qui vérifie la relation suivante : (S2) : x2 + y2 + z2 − 2x + 8y + 4z + 5 = 0.
a. Déterminer la nature de (S2) et ses éléments caractéristiques.
(x − 1)2 + (y + 4)2 + (z + 2)2 = 1 + 16 + 4 − 5 = 16
(S2) est la sphère de centre I(1 ; −4 ; −2) et de rayon 4.
04.
a. Calculer la distance du point I(1, −4, −2) au plan (ABC).
d(I, (ABC)) = |1 − 4 − 2 − 1|√3 = 6√3 = 2√3.
b. On déduit que le plan (ABC) coupe le sphère suivant un cercle (Γ).
2√3 ≈ 3,46 < 4 : la distance de I au plan est inférieure au rayon.
Le plan (ABC) coupe la sphère (S2) suivant un cercle (Γ).
c. Déterminer RΓ le rayon de (Γ). Puis les cordonnés du point IΓ centre de (Γ).
RΓ = √42 − (2√3)2 = √16 − 12 = 2.
IΓ est le projeté orthogonal de I sur (ABC) : (1 + t) + (−4 + t) + (−2 + t) − 1 = 3t − 6 = 0, donc t = 2.
IΓ(3 ; −2 ; 0) (c’est le point H).