Cet examen simili 2 de maths 2 SPC-SVT pour la 2ème Bac PC et SVT est proposé avec un corrigé détaillé étape par étape pour s’entraîner dans les conditions de l’examen. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.
Simili 2 – Maths 2 SPC-SVT
Exercice 01Produit scalaire dans l’espace et produit vectoriel
Dans l’espace (ℰ) est rapporté au repère orthonormé direct (O, i, j, k) on considère :
Les points A(3, 4, 2), B(2, 2, 4), C(2, 4, 0) et Ω(2, 2, −2).
01.
a. Déterminer les cordonnés du vecteur : AB ∧ AC. Est-ce que les points A et B et C sont alignés.
AB = (−1 ; −2 ; 2) et AC = (−1 ; 0 ; −2).
AB ∧ AC = ((−2)(−2) − 2×0 ; 2×(−1) − (−1)(−2) ; (−1)×0 − (−2)(−1)) = (4 ; −4 ; −2).
AB ∧ AC = (4 ; −4 ; −2) ≠ 0 : les points A, B, C ne sont pas alignés.
b. Donner une équation cartésienne du plan (ABC).
n(2 ; −2 ; −1) (colinéaire à AB ∧ AC) est normal au plan : 2x − 2y − z + d = 0.
A ∈ (ABC) : 6 − 8 − 2 + d = 0, donc d = 4.
(ABC) : 2x − 2y − z + 4 = 0.
Vérification avec B : 4 − 4 − 4 + 4 = 0 ✓ et avec C : 4 − 8 − 0 + 4 = 0 ✓.
c. Donner une équation cartésienne du plan (Q) passant par Ω et parallèle au plan (ABC).
(Q) // (ABC), donc (Q) : 2x − 2y − z + d′ = 0. Ω ∈ (Q) : 4 − 4 + 2 + d′ = 0, donc d′ = −2.
(Q) : 2x − 2y − z − 2 = 0.
d. Calculer : la surface du triangle ABC.
S = 12 ‖AB ∧ AC‖ = 12 √16 + 16 + 4 = 12 × 6 = 3 unités d’aire.
02. On considère la droite (D) dont un système d’équations est x − 12 = 1 − y2 = −5 − z.
a. Montrer que la droite (D) est orthogonale au plan (ABC).
En posant x − 12 = 1 − y2 = −5 − z = t : x = 1 + 2t, y = 1 − 2t, z = −5 − t. Un vecteur directeur de (D) est u(2 ; −2 ; −1).
Or u = n(2 ; −2 ; −1) est un vecteur normal à (ABC).
(D) est orthogonale au plan (ABC).
b. Déterminer les cordonnés du point H intersection de (D) et (ABC).
On remplace dans 2x − 2y − z + 4 = 0 : 2(1 + 2t) − 2(1 − 2t) − (−5 − t) + 4 = 9t + 9 = 0, donc t = −1.
H(−1 ; 3 ; −4).
Vérification : −2 − 6 + 4 + 4 = 0 ✓.
03.
a. Calculer la distance du point Ω à la droite (D).
(D) passe par P(1, 1, −5) et u(2 ; −2 ; −1), ‖u‖ = 3. PΩ = (1 ; 1 ; 3) donc ΩP = (−1 ; −1 ; −3).
ΩP ∧ u = ((−1)(−1) − (−3)(−2) ; (−3)(2) − (−1)(−1) ; (−1)(−2) − (−1)(2)) = (−5 ; −7 ; 4)
‖ΩP ∧ u‖ = √25 + 49 + 16 = √90 = 3√10.
d(Ω, (D)) = 3√103 = √10.
b. Déterminer l’équation cartésienne du sphère (S) de centre Ω et la droite (D) est tangente au sphère (S).
Le rayon est R = d(Ω, (D)) = √10.
(S) : (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z + 2)2 = 10.
c. Déterminer les cordonnés du point K point de tangence de (D) et le sphère (S).
K est le projeté orthogonal de Ω sur (D) : K(1 + 2t, 1 − 2t, −5 − t) avec ΩK · u = 0.
ΩK = (2t − 1 ; −2t − 1 ; −t − 3) : 2(2t − 1) − 2(−2t − 1) − (−t − 3) = 9t + 3 = 0, donc t = −13.
K(13 ; 53 ; −143).
Vérification : ΩK2 = 25 + 1 + 649 = 10 ✓.
04.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par Ω et orthogonale au plan (ABC).
n(2 ; −2 ; −1) dirige (Δ) :
(Δ) : x = 2 + 2t, y = 2 − 2t, z = −2 − t, t ∈ ℝ.
b. Calculer la distance d du point Ω au plan (ABC).
d = |2×2 − 2×2 + 2 + 4|√4 + 4 + 1 = 63 = 2.
c. En déduit que le plan (ABC) coupe le sphère suivant un cercle (Γ).
Le rayon de (S) est √10 ≈ 3,16 et d = 2 < √10.
Le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ).
d. Déterminer RΓ le rayon de (Γ). Puis les cordonnés du point IΓ centre de (Γ).
RΓ = √R2 − d2 = √10 − 4 = √6.
IΓ est le projeté orthogonal de Ω sur (ABC) : 2(2 + 2t) − 2(2 − 2t) − (−2 − t) + 4 = 9t + 6 = 0, donc t = −23.
IΓ(23 ; 103 ; −43).
e. Déterminer la nature de l’intersection de (S) et (Q) et on détermine les éléments caractéristiques de l’intersection.
Ω ∈ (Q) : le plan (Q) passe par le centre de la sphère.
(S) ∩ (Q) est un grand cercle : cercle de centre Ω et de rayon √10, contenu dans le plan (Q) : 2x − 2y − z − 2 = 0.
Exercice 02Nombres complexes
01.
a. Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation z2 + 6z + 12 = 0.
Δ = 36 − 48 = −12 = (2i√3)2.
z1 = −3 + i√3 et z2 = −3 − i√3.
b. Résoudre l’équation differentielle suivante : y″ + 6y′ + 12y = 0.
L’équation caractéristique r2 + 6r + 12 = 0 a pour racines −3 ± i√3.
y(x) = e−3x(A cos(√3 x) + B sin(√3 x)), (A, B) ∈ ℝ2.
02. On considère le polynome suivant : P(z) = z3 + 4z2 − 24 dont z est un complexe.
a. Calculer : P(2).
P(2) = 8 + 16 − 24 = 0.
b. Déterminer a et b de ℝ tel que pour tout z de ℂ on a : P(z) = (z − 2)(z2 + az + b).
(z − 2)(z2 + az + b) = z3 + (a − 2)z2 + (b − 2a)z − 2b. Par identification : a − 2 = 4, b − 2a = 0, −2b = −24.
a = 6 et b = 12.
c. Résoudre dans ℂ l’équation suivante : P(z) = 0.
P(z) = 0 ⟺ z = 2 ou z2 + 6z + 12 = 0.
S = {2 ; −3 + i√3 ; −3 − i√3}.
03. Dans le plan complexe (P) rapporté a un repére orthonormé direct (O, u, v) ; unité de mesure est 2 cm ; on considère les points A et B et C et leurs affixes respectivement a = −3 + i√3 et b = −3 − i√3 et c = 2i√3.
a. Déterminer les valeurs de n ∈ ℕ tel que : an est un nombre réel.
|a| = √9 + 3 = 2√3 ; cos θ = −√32 et sin θ = 12, donc arg a = 5π6. Ainsi an = (2√3)n ei 5nπ/6.
an est réel ⟺ sin(5nπ6) = 0 ⟺ 5n6 ∈ ℤ ⟺ 6 divise 5n ⟺ 6 divise n (car 5 et 6 sont premiers entre eux).
n = 6k avec k ∈ ℕ.
b. Montrer que : ba = eiπ/3 ; puis on déduit la nature du triangle OAB.
b = ā, donc ba = āa = e−2i arg a = e−5iπ/3 = eiπ/3.
Donc |b| = |a| (OA = OB) et (OA, OB) ≡ π3 [2π].
Le triangle OAB est isocèle en O avec un angle de π3 : il est équilatéral.
04. On considère la translation t qui transforme le point A au point B. Donner l’écriture complexe de la translation t.
b − a = −2i√3.
t : z′ = z − 2i√3.
a. Déterminer d l’affixe du point D image du point C par la translation t.
d = c − 2i√3 = 0 : D = O.
b. Soit I le milieu du segment [BC]. Montrer que les deux vecteurs IA et IC sont orthogonaux.
Affixe de I : iI = b + c2 = −32 + √32 i.
IA : a − iI = −32 + √32 i, soit (−32 ; √32).
IC : c − iI = 32 + 3√32 i, soit (32 ; 3√32).
IA · IC = −94 + 94 = 0
Les vecteurs IA et IC sont orthogonaux.
05. On considère dans le plan complexe (P) la transformation h qui transforme tout point M d’affixe z au point M′ d’affixe z′ tel que : z′ = 2z − 3i.
a. Montrer que h est une homothétie et on détermine l’affixe de son centre Ω et son rapport k.
z′ = 2z − 3i avec 2 ∈ ℝ∖{0,1} : c’est une homothétie. Son centre vérifie ω = 2ω − 3i, donc ω = 3i. Et z′ − 3i = 2(z − 3i).
h est l’homothétie de centre Ω(3i) et de rapport k = 2.
b. Déterminer (C′) l’image du cercle (C) de centre A et de rayon 3 par l’homothétie h.
L’image d’un cercle est un cercle de centre h(A) et de rayon |k| × 3 = 6. a′ = 2a − 3i = −6 + 2i√3 − 3i.
(C′) est le cercle de centre A′(−6 + i(2√3 − 3)) et de rayon 6.
Exercice 03Probabilité
Un amateur de la chasse utilise deux catégories de cartouches un on le désigne par A et l’autre par B.
Probabilité tel que le chasseur atteint son but en utilisant cartouche A est 810. Probabilité tel que le chasseur atteint son but en utilisant cartouche B est 610.
1ère expérience : le chasseur utilise deux cartouches de catégorie A l’une après l’autre cartouche pour atteint son but. On considère la variable aléatoire X définie par « le nombre de fois le chasseur atteint son but en utilisant les deux cartouches l’une après l’autre ».
01. Donner l’ensemble X(Ω) ( ensemble des valeurs de X ).
X(Ω) = {0, 1, 2}.
02. Montrer que : p(X = 1) = 825.
On atteint le but exactement une fois : (réussite puis échec) ou (échec puis réussite).
p(X = 1) = 2 × 45 × 15 = 825.
03. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
p(X = 0) = 15 × 15 = 125 et p(X = 2) = 45 × 45 = 1625.
| xi | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| p(X = xi) | 125 | 825 | 1625 |
Somme : 1 + 8 + 1625 = 1 ✓.
04. Calculer E(X) l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
E(X) = 0 × 125 + 1 × 825 + 2 × 1625 = 4025 = 85.
2ième expérience : le chasseur utilise un cartouches de catégorie A puis une cartouche de catégorie B pour atteint son but. On considère les deux événements : C « Le chasseur atteint son but en utilisant A et aussi par B » ; D « Le chasseur atteint son but au moins une fois en utilisant A puis B ».
01. Calculer : p(C) et p(D).
p(C) = 810 × 610 = 1225.
p(D) = 1 − p(« jamais ») = 1 − 210 × 410 = 1 − 225 = 2325.
3ième expérience : le chasseur possède un sac qui contient 3 cartouches de la catégorie A et 4 cartouches de la catégorie B tel que les cartouches sont indiscernables au touche. Le chasseur tire du sac simultanément deux cartouches puis il utilise les deux cartouches sans intervenue l’ordre pendant l’utilisation des deux cartouches.
01. Calculer la probabilité de l’événement E « Le chasseur tire deux cartouches du catégorie A ».
card Ω = C(7, 2) = 21.
p(E) = C(3, 2)21 = 321 = 17.
02. Calculer la probabilité de l’événement F « Le chasseur tire deux cartouches de catégorie différents ».
p(F) = 3 × 421 = 1221 = 47.
03. Montrer que la probabilité de l’événement G « Le chasseur atteint son but deux fois » est p(G) = 328700.
Formule des probabilités totales selon les cartouches tirées :
- AA : 321 × (45)2 = 321 × 1625
- BB : 621 × (35)2 = 621 × 925
- AB : 1221 × 45 × 35 = 1221 × 1225
p(G) = 48 + 54 + 144525 = 246525 = 82175 = 328700. ✓
4ième expérience : le chasseur répète la troisième expérience quatre fois tel que chaque fois le chasseur remet les deux cartouches tirées au sac avant de répéter l’expérience une autre fois. On considère la variable aléatoire Y définie par « le nombre de fois l’événement F est réalisé lorsqu’on répète l’expérience précédent quatre fois ».
01.
a. Comment on appelle la variable aléatoire Y et on précise ses paramètres.
Quatre épreuves identiques et indépendantes (remise), chacune avec deux issues (F réalisé ou non) et p(F) = 47.
Y suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 47 : Y ↪ ℬ(4, 47).
b. Donner l’ensemble Y(Ω) ( ensemble des valeurs de Y ).
Y(Ω) = {0, 1, 2, 3, 4}.
c. Donner p(Y = k) avec k ∈ Y(Ω).
p(Y = k) = C(4, k) (47)k (37)4−k.
d. Calculer : l’espérance mathématique E(Y) ; la variance V(Y) et l’écart-type σ(Y).
E(Y) = np = 4 × 47 = 167
V(Y) = np(1 − p) = 4 × 47 × 37 = 4849
σ(Y) = √4849 = 4√37
Exercice 04Équation différentielle, fonction exponentielle et suite de la forme un+1 = f(un)
1ère PARTIE
On considère l’équation différentielle suivante : (E) : y′ − 2y = 2(e2x − 1) tel que la fonction y définie et dérivable sur ℝ.
01. Montrer que la fonction : h(x) = 2xe2x + 1 est solution de l’équation (E).
h′(x) = 2e2x + 4xe2x, donc h′(x) − 2h(x) = 2e2x + 4xe2x − 4xe2x − 2 = 2(e2x − 1).
h est solution de (E).
02. On pose : y = z + h tel que z est une fonction dérivable sur ℝ.
a. Montrer que : si y est solution de l’équation (E) alors z est solution de l’équation z′ − 2z = 0.
y′ − 2y = (z′ − 2z) + (h′ − 2h) = (z′ − 2z) + 2(e2x − 1). Si y est solution de (E) : y′ − 2y = 2(e2x − 1), donc z′ − 2z = 0.
b. Montrer que : si z est solution de l’équation z′ − 2z = 0 alors y est solution de l’équation (E).
Si z′ − 2z = 0 : y′ − 2y = 0 + 2(e2x − 1) = 2(e2x − 1).
c. Ecrire l’équivalence obtenue.
y est solution de (E) ⟺ z = y − h est solution de (E′) : z′ − 2z = 0.
d. Résoudre l’équation : (E′) : z′ − 2z = 0 puis déduis les solutions de l’équation (E).
z(x) = Ce2x, donc y(x) = Ce2x + 2xe2x + 1 = (2x + C)e2x + 1, C ∈ ℝ.
e. Déterminer la fonction f solution de (E) qui vérifie f(0) = 0.
f(0) = C + 1 = 0, donc C = −1.
f(x) = 1 + (2x − 1)e2x.
2ième PARTIE
Soit la fonction f définie de ℝ vers ℝ par : f(x) = 1 + (2x − 1)e2x. (Cf) la courbe de f dans un repère orthonormé (O, i, j) unité de mesure 3 cm.
01.
a. Résoudre dans ℝ l’équation suivante : 1 − f(x) ≥ 0.
1 − f(x) = −(2x − 1)e2x ≥ 0 ⟺ 2x − 1 ≤ 0 (car e2x > 0).
S = ]−∞ ; 12].
b. Calculer : limx→+∞ f(x) puis montrer que limx→−∞ f(x) = 1 ; donner une interprétation géométrique des résultats obtenus.
En +∞ : (2x − 1) → +∞ et e2x → +∞ donc lim f(x) = +∞.
En −∞ : xe2x → 0 (croissances comparées) et e2x → 0, donc (2x − 1)e2x → 0.
limx→+∞ f(x) = +∞ et limx→−∞ f(x) = 1 : la droite y = 1 est asymptote horizontale à (Cf) au voisinage de −∞.
c. Montrer que : limx→+∞ f(x)x = +∞ ; donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
f(x)x = 1x + (2 − 1x)e2x → +∞.
(Cf) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
02.
a. Calculer la fonction dérivée de f et vérifie que f′(x) = 4xe2x.
f′(x) = 2e2x + 2(2x − 1)e2x = e2x(2 + 4x − 2).
f′(x) = 4xe2x. ✓
b. Donner le signe de f′ puis donner le tableau de variation de f.
f′(x) a le signe de x. f(0) = 1 − 1 = 0.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | − | 0 | + | ||
| f(x) | 1 | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
c. Donner l’équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) de f au point d’abscisse x0 = 0.
f(0) = 0 et f′(0) = 0.
(T) : y = 0 (l’axe des abscisses).
03.
a. Vérifier que la fonction dérivée seconde de f est : f″(x) = 4(2x + 1)e2x.
f″(x) = 4e2x + 4x × 2e2x = 4e2x(1 + 2x).
f″(x) = 4(2x + 1)e2x. ✓
b. Etudier le signe f″ puis donner la concavité de (Cf) et précisé les points d’inflexions de la courbe (Cf).
f″(x) a le signe de 2x + 1.
| x | −∞ | −12 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f″(x) | − | 0 | + | ||
| (Cf) | concave | inflexion | convexe |
(Cf) est concave sur ]−∞ ; −12] et convexe sur [−12 ; +∞[. Point d’inflexion : I(−12 ; 1 − 2e) ≈ (−0,5 ; 0,26).
04. Le tableau ci-contre donne le signe de f(x) − x sur ℝ tel que : 0,32 < α < 0,33.
T : x : −∞, 0, α, +∞ ; f(x) − x : + 0 − 0 +
a. Construire la courbe (Cf) de f et la droite (Δ) d’équation y = x dans un repère orthonormé (O, i, j) unité de mesure 1 cm. ( la construction sera sur l’annexe 1 voir page 4 ).
(Cf) est au-dessus de (Δ) sur ]−∞ ; 0[ et sur ]α ; +∞[, au-dessous sur ]0 ; α[. Voir la figure (unité du graphique : 1 carreau).
05. Soit g la restriction de f sur l’intervalle I = [0, +∞[.
a. Montrer que la restriction g admet une fonction réciproque g−1 définie sur l’intervalle J on le détermine.
g est continue et strictement croissante sur [0, +∞[ (g′ = 4xe2x > 0 pour x > 0), donc g est une bijection de I sur J = [g(0), lim+∞ g[.
g−1 est définie sur J = [0, +∞[.
b. Construire la courbe (Cg−1) de la fonction réciproque g−1 dans le même repère (O, i, j).
(Cg−1) est le symétrique de la partie de (Cf) sur [0, +∞[ par rapport à la droite (Δ) : y = x (courbe verte de la figure).
c. Calculer g(α) ; puis montrer que g−1 est dérivable en α et calculer (g−1)′(α).
D’après le tableau, f(α) − α = 0, donc g(α) = α.
g est dérivable en α et g′(α) = 4αe2α ≠ 0, et α ∈ J : g−1 est dérivable en α.
(g−1)′(α) = 1g′(g−1(α)) = 1g′(α) = 14αe2α.
06.
a. On utilise une intégration par parties montrer que : ∫−10 (2x − 1)e2x dx = −1 + 2e2.
Avec u = 2x − 1 et v′ = e2x (u′ = 2, v = e2x2) :
∫−10 (2x − 1)e2x dx = [ (2x − 1)e2x2 ]−10 − ∫−10 e2x dx = [ (x − 1)e2x ]−10
= (−1) − (−2e−2) = −1 + 2e2. ✓
b. Colorer en vert la partie du plan comprise entre la courbe (Cf) et la droite (D) d’équation y = 1 et les deux droites d’équations x = −1 et x = 0 puis calculer en cm2 l’aire (la surface).
Sur [−1 ; 0], f(x) − 1 = (2x − 1)e2x ≤ 0 : (Cf) est sous la droite y = 1.
L’aire vaut A = ∫−10 (1 − f(x)) dx = −∫−10 (2x − 1)e2x dx = 1 − 2e2 unités d’aire, et 1 u.a. = 3 cm × 3 cm = 9 cm2.
A = 9(1 − 2e2) cm2 ≈ 6,56 cm2.
07. L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O, i, j, k) avec ‖i‖ = ‖j‖ = ‖k‖ = 1 cm.
a. Soit la fonction F(x) = 8x2 − 12x + 58 e4x vérifie que : F′(x) = (2x − 1)2 e4x.
F′(x) = 18e4x[(16x − 12) + 4(8x2 − 12x + 5)] = 18e4x(32x2 − 32x + 8).
F′(x) = e4x(4x2 − 4x + 1) = (2x − 1)2e4x. ✓
b. Calculer en cm3 le volume V du solide obtenue par la rotation de la courbe (Cf) au tour de l’axe des abscisses sur l’intervalle [−1, 0].
V = π∫−10 f(x)2 dx avec f2 = 1 + 2(2x − 1)e2x + (2x − 1)2e4x.
∫−10 1 dx = 1 ; ∫−10 2(2x − 1)e2x dx = 2(−1 + 2e2) (question a) ; ∫−10 (2x − 1)2e4x dx = F(0) − F(−1) = 58 − 258e4.
V = π(1 − 2 + 4e2 + 58 − 258e4) = π(4e2 − 38 − 258e4) cm3 ≈ 0,34 cm3.
3ième PARTIE
01. On considère la suite (un) définie par : u0 = 14 et un+1 = (2un − 1)e2un + 1 ; ∀n ∈ ℕ.
a. Ecrire la suite (un) en fonction de la fonction f.
un+1 = f(un) pour tout n ∈ ℕ.
b. Montrer que f([0, α]) ⊂ [0, α].
f est croissante sur [0, +∞[, donc f([0, α]) = [f(0), f(α)] = [0, α].
c. Montrer que : ∀n ∈ ℕ ; 0 ≤ un ≤ α.
Récurrence : u0 = 0,25 ∈ [0, α] (car α > 0,32). Si un ∈ [0, α], alors un+1 = f(un) ∈ f([0, α]) ⊂ [0, α].
d. Montrer que la suite (un) est décroissante.
un+1 − un = f(un) − un ≤ 0 car f(x) − x ≤ 0 sur [0, α] (tableau).
(un) est décroissante.
e. On déduit que (un) est une suite convergente.
(un) est décroissante et minorée par 0 : elle converge.
f. Déterminer la limite de la suite (un).
Soit ℓ = lim un ∈ [0, u0] = [0 ; 0,25]. f est continue donc f(ℓ) = ℓ, c’est-à-dire f(ℓ) − ℓ = 0, donc ℓ = 0 ou ℓ = α. Or ℓ ≤ 0,25 < α.
lim un = 0.