Ce devoir 3 (modèle 1) du semestre 2 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 3 modèle 1 semestre 2 corrigé Tronc Commun
Devoir 3 · Modèle 1 · Semestre 2 · Tronc Commun
📌 Corrigé détaillé · Évaluation N°3 – 2ᵉ semestre – 12/05/2018⏱️ Clique sur + pour voir la correction🟢 facile · 🟠 moyen · 🔴 difficile
Exercice 1 (5,5 pts) – Géométrie dans l’espace
Points \(A(0, 1, 2)\), \(B(2, -1, 1)\) et vecteurs \(\vec{u}(1, 0, -2)\), \(\vec{v}(1, -1, -3)\), \(\vec{w}(1, -1, 2)\).
1) Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(B\) et de vecteur directeur \(\vec{w}\).
Correction détaillée
🔢 \(M(x, y, z) \in (D) \iff \overrightarrow{BM} = t\vec{w}\), \(t \in \mathbb{R}\).
✅ \((D) : \begin{cases} x = 2 + t \\ y = -1 – t \\ z = 1 + 2t \end{cases}\), \(t \in \mathbb{R}\).
2) a) Montrer que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
Correction détaillée
🔢 S’ils étaient colinéaires, \(\vec{v} = k\vec{u}\) : \(1 = k\) (première coordonnée), puis la deuxième coordonnée donnerait \(-1 = 0 \times k = 0\), faux.
✅ \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
2) b) Montrer que \(2x – y + z – 1 = 0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Le plan \(\Pi : 2x – y + z – 1 = 0\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2, -1, 1)\).
🔢 Étape 2 : \(A \in \Pi\) : \(0 – 1 + 2 – 1 = 0\) ✓.
🔢 Étape 3 : \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 2 + 0 – 2 = 0\) et \(\vec{v} \cdot \vec{n} = 2 + 1 – 3 = 0\) : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont parallèles à \(\Pi\).
🔢 Étape 4 : Comme \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) sont non colinéaires, le plan passant par \(A\) dirigé par \(\vec{u}, \vec{v}\) est \(\Pi\) lui-même.
✅ \((P) : 2x – y + z – 1 = 0\).
3) a) Montrer que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Déterminant : \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -3 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \times (-2 – 3) – 0 + (-2) \times (-1 + 1) = -5\).
🔢 Étape 2 : Le déterminant est non nul.
✅ \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
3) b) En déduire que \((D)\) perce \((P)\) et déterminer le point d’intersection.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Comme \(\vec{w}\) n’est pas dans la direction du plan \((P)\), la droite \((D)\) n’est pas parallèle à \((P)\) : elle le coupe en un point.
🔢 Étape 2 : On remplace dans \(2x – y + z – 1 = 0\) : \(2(2 + t) – (-1 – t) + (1 + 2t) – 1 = 4 + 2t + 1 + t + 1 + 2t – 1 = 5t + 5 = 0\), donc \(t = -1\).
🔢 Étape 3 : Point : \(x = 1\), \(y = 0\), \(z = -1\). Contrôle : \(2 – 0 – 1 – 1 = 0\) ✓.
✅ \((D)\) coupe \((P)\) au point \(I(1, 0, -1)\).
Exercice 2 (14,5 pts) – Étude de fonction
\(f(x) = \dfrac{x^3 – 2x^2 – x + 1}{x^2}\), \(C_f\) sa courbe dans un repère orthonormé.
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2 \neq 0\).
✅ \(D_f = \mathbb{R}^*\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} f(x)\) et interpréter.
Correction détaillée
🔢 Numérateur en \(0\) : \(1 > 0\). Dénominateur \(x^2 \to 0^+\).
✅ \(\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty\) : l’axe des ordonnées \(x = 0\) est asymptote verticale.
3) a) Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) = x – 2 – \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\).
✅ \(\lim\limits_{x \to +\infty} f = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f = -\infty\).
3) b) Montrer que \((D) : y = x – 2\) est asymptote oblique en \(+\infty\) et \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) – (x – 2) = -\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1 – x}{x^2} \to 0\) en \(\pm\infty\).
✅ \((D)\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
3) c) Position relative de \(C_f\) et \((D)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) – (x – 2) = \dfrac{1 – x}{x^2}\) : signe de \(1 – x\) (car \(x^2 > 0\)).
✅ \(C_f\) est au-dessus de \((D)\) pour \(x < 1\) (\(x \neq 0\)), au-dessous pour \(x > 1\) ; elles se coupent en \((1, -1)\).
4) a) Montrer que \(f'(x) = \dfrac{(x – 1)(x^2 + x + 2)}{x^3}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x) = x – 2 – x^{-1} + x^{-2}\), donc \(f'(x) = 1 + \dfrac{1}{x^2} – \dfrac{2}{x^3} = \dfrac{x^3 + x – 2}{x^3}\).
🔢 Étape 2 : \((x – 1)(x^2 + x + 2) = x^3 + x^2 + 2x – x^2 – x – 2 = x^3 + x – 2\).
✅ \(f'(x) = \dfrac{(x – 1)(x^2 + x + 2)}{x^3}\).
4) b) Montrer que le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x(x – 1)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2 + x + 2\) a pour discriminant \(1 – 8 < 0\) : il est \(> 0\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{x – 1}{x^3} = \dfrac{x(x – 1)}{x^4}\) avec \(x^4 > 0\).
✅ \(f'(x)\) a le même signe que \(x(x – 1)\).
4) c) Dresser le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(x(x – 1) > 0\) pour \(x < 0\) ou \(x > 1\), et \(< 0\) sur \(]0 ; 1[\). \(f(1) = 1 – 2 – 1 + 1 = -1\).
✅ \(f\) est croissante sur \(]-\infty ; 0[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)), décroissante sur \(]0 ; 1]\) (de \(+\infty\) à \(-1\)), croissante sur \([1 ; +\infty[\) (de \(-1\) à \(+\infty\)).
5) a) Montrer que \(f »(x) = \dfrac{6 – 2x}{x^4}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x) = 1 + x^{-2} – 2x^{-3}\), donc \(f »(x) = -2x^{-3} + 6x^{-4} = \dfrac{-2x + 6}{x^4}\).
✅ \(f »(x) = \dfrac{6 – 2x}{x^4}\).
5) b) Étudier la concavité de \(C_f\) et montrer qu’elle admet un point d’inflexion.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^4 > 0\) : le signe de \(f »\) est celui de \(6 – 2x\), positif pour \(x < 3\) et négatif pour \(x > 3\).
🔢 Étape 2 : \(f(3) = \dfrac{27 – 18 – 3 + 1}{9} = \dfrac{7}{9}\).
✅ \(C_f\) est convexe sur \(]-\infty ; 0[\) et \(]0 ; 3]\), concave sur \([3 ; +\infty[\) ; point d’inflexion \(I\left(3, \dfrac{7}{9}\right)\).
6) On admet \(f(-1) = -1\), \(f\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{7}{2}\), \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}\) ; construire \(C_f\).
Correction détaillée
🔢 Points : \((-1, -1)\), \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\), \((1, -1)\), \(I\left(3, \frac{7}{9}\right)\). Asymptotes : \(x = 0\) et \(y = x – 2\).
\(C_f\) (bleu), asymptote \(y = x – 2\) (rouge), asymptote verticale \(x = 0\)
✅ Voir la figure ci-dessus.