Ce devoir 1 (modèle 2) du semestre 2 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 2 semestre 2 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 2 · Semestre 2 · Tronc Commun
📌 Corrigé détaillé · Évaluation N°1 – 2ᵉ semestre – 10/03/2018⏱️ Clique sur + pour voir la correction🟢 facile · 🟠 moyen · 🔴 difficile
Exercice 1 (9 points) – Limites
Calculer les limites suivantes :
1) \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x^2 + x – 1}{x^3 – 5}\)
Correction détaillée
🔢 Termes de plus haut degré : \(\dfrac{2x^2}{x^3} = \dfrac{2}{x} \to 0\).
✅ \(0\).
2) \(\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{3x^2 – x – 4}{\sqrt{x + 5} + 2x}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(-1\) : numérateur \(3 + 1 – 4 = 0\) et dénominateur \(2 – 2 = 0\) : forme \(\dfrac{0}{0}\).
🔢 Étape 2 : \(3x^2 – x – 4 = (x + 1)(3x – 4)\). On multiplie par le conjugué \(\sqrt{x + 5} – 2x\) : \((\sqrt{x + 5} + 2x)(\sqrt{x + 5} – 2x) = x + 5 – 4x^2 = -(4x^2 – x – 5) = -(x + 1)(4x – 5)\).
🔢 Étape 3 : Pour \(x \neq -1\) : l’expression vaut \(\dfrac{(3x – 4)(\sqrt{x + 5} – 2x)}{-(4x – 5)} = \dfrac{(3x – 4)(\sqrt{x + 5} – 2x)}{5 – 4x}\).
🔢 Étape 4 : En \(-1\) : \(\dfrac{(-7)(2 + 2)}{9} = -\dfrac{28}{9}\).
✅ \(-\dfrac{28}{9}\).
3) \(\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{10 – 5x}{x^2 – 6x + 9}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2 \to 0^+\) et \(10 – 5x \to -5\).
🔢 Étape 2 : Donc \(\dfrac{-5}{0^+} = -\infty\).
✅ \(-\infty\).
4) \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{5x^3 + x – 1}}{2x + 1}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{5x^3 + x – 1} = x\sqrt{x}\sqrt{5 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}\) et \(2x + 1 \sim 2x\).
🔢 Étape 2 : Le quotient \(\sim \dfrac{\sqrt{5}\,x\sqrt{x}}{2x} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{x} \to +\infty\).
✅ \(+\infty\).
5) \(\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^4 – 2x^3 + 1} – x\right)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{x^4 – 2x^3 + 1} = x^2\sqrt{1 – \frac{2}{x} + \frac{1}{x^4}} \to +\infty\) et \(-x \to +\infty\).
🔢 Étape 2 : Somme de deux termes tendant vers \(+\infty\) : pas de forme indéterminée.
✅ \(+\infty\).
6) \(\lim\limits_{x \to -\infty}\left(\sqrt{2x^2 – x + 1} + 3x\right)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x < 0\) : \(\sqrt{2x^2 – x + 1} = |x|\sqrt{2 – \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = -x\sqrt{2 – \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}\).
🔢 Étape 2 : Donc l’expression vaut \(x\left(3 – \sqrt{2 – \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}\right)\). La parenthèse tend vers \(3 – \sqrt{2} > 0\) et \(x \to -\infty\).
✅ \(-\infty\).
7) \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{4x^2 – x + 2} – 2x\right)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Conjugué : \(\dfrac{4x^2 – x + 2 – 4x^2}{\sqrt{4x^2 – x + 2} + 2x} = \dfrac{-x + 2}{\sqrt{4x^2 – x + 2} + 2x}\).
🔢 Étape 2 : On divise par \(x\) : \(\dfrac{-1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{4 – \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} + 2} \to \dfrac{-1}{4}\).
✅ \(-\dfrac{1}{4}\).
8) \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 – \cos 5x}{x \sin 3x}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{1 – \cos 5x}{x \sin 3x} = \dfrac{1 – \cos 5x}{(5x)^2} \times 25 \times \dfrac{x}{\sin 3x}\).
🔢 Étape 2 : Avec \(\dfrac{1 – \cos t}{t^2} \to \dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{x}{\sin 3x} \to \dfrac{1}{3}\) : \(\dfrac{1}{2} \times 25 \times \dfrac{1}{3}\).
✅ \(\dfrac{25}{6}\).
9) \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{\tan(x – 2)}{x^2 – 4}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{\tan(x – 2)}{x^2 – 4} = \dfrac{\tan(x – 2)}{x – 2} \times \dfrac{1}{x + 2}\).
🔢 Étape 2 : Avec \(\dfrac{\tan t}{t} \to 1\) : \(1 \times \dfrac{1}{4}\).
✅ \(\dfrac{1}{4}\).
Exercice 2 (5 points) – Suite
\(U_0 = 1\) et \(U_{n+1} = \dfrac{2U_n – 1}{2U_n + 5}\). On pose \(V_n = \dfrac{2U_n + 1}{U_n + 1}\).
1) Montrer que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(U_n > -1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(U_0 = 1 > -1\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(U_n > -1\), alors \(2U_n + 5 > 3 > 0\) et \(U_{n+1} + 1 = \dfrac{2U_n – 1 + 2U_n + 5}{2U_n + 5} = \dfrac{4(U_n + 1)}{2U_n + 5} > 0\).
✅ \(\forall n,\ U_n > -1\).
2) a) Montrer que \((V_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{3}{4}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2U_{n+1} + 1 = \dfrac{4U_n – 2 + 2U_n + 5}{2U_n + 5} = \dfrac{3(2U_n + 1)}{2U_n + 5}\) et \(U_{n+1} + 1 = \dfrac{4(U_n + 1)}{2U_n + 5}\).
🔢 Étape 2 : \(V_{n+1} = \dfrac{3(2U_n + 1)}{4(U_n + 1)} = \dfrac{3}{4}V_n\).
✅ \((V_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{3}{4}\).
2) b) Calculer \(V_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 \(V_0 = \dfrac{2 + 1}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}\).
✅ \(V_n = \dfrac{3}{2}\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\).
2) c) Déduire \(U_n\) en fonction de \(n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(V_n(U_n + 1) = 2U_n + 1 \iff U_n(V_n – 2) = 1 – V_n \iff U_n = \dfrac{V_n – 1}{2 – V_n}\) (on a \(V_n \leq \frac{3}{2} < 2\), donc \(2 – V_n \neq 0\)).
🔢 Étape 2 : Contrôle : \(n = 0\) donne \(\dfrac{1/2}{1/2} = 1 = U_0\) ✓.
✅ \(U_n = \dfrac{\frac{3}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^n – 1}{2 – \frac{3}{2}\left(\frac{3}{4}\right)^n}\).
2) d) Calculer \(S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_n\).
Correction détaillée
🔢 Somme géométrique : \(S_n = V_0 \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1 – \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1}}{\frac{1}{4}}\).
✅ \(S_n = 6\left(1 – \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)\).
Exercice 3 (6 points) – Trigonométrie
\(A(x) = \sqrt{3}\left(4\cos^4 x + \sin^2 2x\right) – 2\sin 2x\).
1) Calculer \(A\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(A\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x = \dfrac{\pi}{4}\) : \(\cos^4 = \dfrac{1}{4}\), donc \(4\cos^4 = 1\) ; \(\sin 2x = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1\). \(A = \sqrt{3}(1 + 1) – 2 = 2\sqrt{3} – 2\).
🔢 Étape 2 : \(x = -\dfrac{\pi}{6}\) : \(\cos^4 = \dfrac{9}{16}\), \(4\cos^4 = \dfrac{9}{4}\) ; \(\sin 2x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin^2 2x = \dfrac{3}{4}\). \(A = \sqrt{3}\left(\dfrac{9}{4} + \dfrac{3}{4}\right) + \sqrt{3} = 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\).
✅ \(A\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{3} – 2\) et \(A\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 4\sqrt{3}\).
2) a) Montrer que \(4\cos^2 x – \sin^2 2x = 4\cos^4 x\).
Correction détaillée
🔢 \(\sin^2 2x = 4\sin^2 x\cos^2 x\), donc \(4\cos^2 x – \sin^2 2x = 4\cos^2 x(1 – \sin^2 x) = 4\cos^4 x\).
✅ Égalité démontrée.
2) b) Déduire que \(A(x) = 4\cos x\left(\sqrt{3}\cos x – \sin x\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : D’après a) : \(4\cos^4 x + \sin^2 2x = 4\cos^2 x\).
🔢 Étape 2 : Donc \(A(x) = 4\sqrt{3}\cos^2 x – 2\sin 2x = 4\sqrt{3}\cos^2 x – 4\sin x\cos x = 4\cos x(\sqrt{3}\cos x – \sin x)\).
✅ \(A(x) = 4\cos x\left(\sqrt{3}\cos x – \sin x\right)\).
3) Montrer que \(A(x) = 8\cos x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)\).
Correction détaillée
⚠️ Le PDF est partiellement illisible à cet endroit ; on lit \(\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\), ce qui est cohérent avec la question 2b.
🔢 \(\sqrt{3}\cos x – \sin x = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x – \dfrac{1}{2}\sin x\right) = 2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)\).
✅ \(A(x) = 8\cos x\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)\).
4) a) Résoudre dans \(\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(A(x) = 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(A(x) = 0 \iff \cos x = 0\) ou \(\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 0\).
🔢 Étape 2 : \(\cos x = 0\) : \(x = \pm\dfrac{\pi}{2}\). \(\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 0 \iff x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi\) : dans l’intervalle, seulement \(\dfrac{\pi}{3}\).
✅ \(S = \left\{-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{2}\right\}\).
4) b) Résoudre dans \(\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\) : \(A(x) > 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\), \(\cos x > 0\). Le signe de \(A\) est celui de \(\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\).
🔢 Étape 2 : \(x + \dfrac{\pi}{6} \in \left[-\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{2\pi}{3}\right]\) : \(\cos > 0\) si \(x + \dfrac{\pi}{6} < \dfrac{\pi}{2}\), soit \(x < \dfrac{\pi}{3}\).
✅ \(S = \left]-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{3}\right[\).