Ce devoir 1 (modèle 2) du semestre 1 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 2 semestre 1 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 2 · Semestre 1 · Tronc Commun
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Exercice 1 (4 points)
1) Par contraposée, montrer que pour \(x, y \geq 0\) : \((x \neq y \text{ et } xy \neq 1) \Rightarrow \dfrac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \neq \dfrac{\sqrt{y}}{y + \sqrt{y} + 1}\).
Correction détaillée
⚠️ Les racines carrées imposent \(x, y \geq 0\) (l’énoncé écrit \(x, y \in \mathbb{R}\)).
📘 Méthode : \(P \Rightarrow Q\) équivaut à \(\neg Q \Rightarrow \neg P\).
🔢 Étape 1 : Contraposée : si \(\dfrac{\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} = \dfrac{\sqrt{y}}{y + \sqrt{y} + 1}\), alors \(x = y\) ou \(xy = 1\).
🔢 Étape 2 : Posons \(a = \sqrt{x}\) et \(b = \sqrt{y}\) (\(a, b \geq 0\)). L’égalité donne \(a(b^2 + b + 1) = b(a^2 + a + 1)\) (dénominateurs \(> 0\)).
🔢 Étape 3 : \(ab^2 + ab + a = a^2 b + ab + b \iff ab(b – a) – (b – a) = 0 \iff (b – a)(ab – 1) = 0\).
🔢 Étape 4 : Donc \(a = b\) (soit \(x = y\)) ou \(ab = 1\) (soit \(\sqrt{xy} = 1\), donc \(xy = 1\)).
✅ La contraposée est vraie, donc l’implication de départ l’est aussi.
2) Montrer par récurrence : \(\forall n \in \mathbb{N}^*\), \(1(3 \times 1 + 1) + 2(3 \times 2 + 1) + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation (\(n = 1\)) : membre de gauche \(1 \times 4 = 4\) ; membre de droite \(1 \times 2^2 = 4\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : on suppose \(\sum_{k=1}^{n} k(3k + 1) = n(n + 1)^2\). Alors \(\sum_{k=1}^{n+1} k(3k + 1) = n(n + 1)^2 + (n + 1)(3n + 4)\).
🔢 Étape 3 : \(= (n + 1)\left[n(n + 1) + 3n + 4\right] = (n + 1)(n^2 + 4n + 4) = (n + 1)(n + 2)^2\), c’est la formule au rang \(n + 1\).
✅ Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), la somme vaut \(n(n + 1)^2\).
Exercice 2 (4 points)
1) Soient \(a, b \in \mathbb{R}^+\) tels que \(a + b = 0\). Montrer par l’absurde que \(a = 0\) et \(b = 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Supposons \(a \neq 0\) ou \(b \neq 0\). Par exemple \(a > 0\) (puisque \(a \geq 0\)).
🔢 Étape 2 : Alors \(a + b \geq a > 0\) car \(b \geq 0\), ce qui contredit \(a + b = 0\). Le cas \(b > 0\) est identique.
✅ \(a = 0\) et \(b = 0\).
2) a) Résoudre \(x^2 + y^2 – 2x + 4y + 5 = 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2 – 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 0 \iff (x – 1)^2 + (y + 2)^2 = 0\).
🔢 Étape 2 : Somme de deux positifs nulle : \((x – 1)^2 = 0\) et \((y + 2)^2 = 0\) (question 1).
✅ \(x = 1\) et \(y = -2\) : \(S = \{(1 ; -2)\}\).
2) b) Résoudre \(\sqrt{x^2 – 4} + \sqrt{y^2 + 2} = 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Les deux racines sont positives ou nulles ; par la question 1, chacune est nulle.
🔢 Étape 2 : En particulier \(\sqrt{y^2 + 2} = 0 \iff y^2 + 2 = 0\), impossible car \(y^2 + 2 \geq 2 > 0\).
✅ L’équation n’a pas de solution : \(S = \varnothing\).
Exercice 3 (6 points)
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 – x}{x^2 – x + 2}\) et \(h(x) = \dfrac{x}{x + 2}\).
1) a) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2 – x + 2\) a pour discriminant \(1 – 8 = -7 < 0\) et \(a > 0\) : il est strictement positif.
✅ \(D_f = \mathbb{R}\).
1) b) Montrer que \(f\) est majorée par \(1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) – 1 = \dfrac{x^2 – x – x^2 + x – 2}{x^2 – x + 2} = \dfrac{-2}{x^2 – x + 2} < 0\).
✅ \(f(x) < 1\) pour tout \(x\) : \(f\) est majorée par \(1\).
1) c) Montrer que \(f\) admet une valeur minimale en \(a = \dfrac{1}{2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\frac{1}{4} – \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} – \frac{1}{2} + 2} = \dfrac{-1/4}{7/4} = -\dfrac{1}{7}\).
🔢 Étape 2 : \(f(x) + \dfrac{1}{7} = \dfrac{7(x^2 – x) + x^2 – x + 2}{7(x^2 – x + 2)} = \dfrac{8x^2 – 8x + 2}{7(x^2 – x + 2)} = \dfrac{2(2x – 1)^2}{7(x^2 – x + 2)} \geq 0\).
✅ \(f(x) \geq -\dfrac{1}{7} = f\left(\dfrac{1}{2}\right)\) : minimum \(-\dfrac{1}{7}\) atteint en \(\dfrac{1}{2}\).
2) a) Déterminer l’ensemble de définition de \(h\).
Correction détaillée
🔢 \(h\) est définie si et seulement si \(x + 2 \neq 0\).
✅ \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\).
2) b) Étudier la variation de \(h\) sur \(D_h\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(h(x) = \dfrac{x + 2 – 2}{x + 2} = 1 – \dfrac{2}{x + 2}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(k = -2 < 0\), \(x \mapsto -\dfrac{2}{x + 2}\) est croissante sur \(]-\infty ; -2[\) et sur \(]-2 ; +\infty[\).
✅ \(h\) est croissante sur \(]-\infty ; -2[\) et sur \(]-2 ; +\infty[\).
2) c) En déduire la variation de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Posons \(u(x) = x^2 – x\). Alors \(f(x) = \dfrac{u(x)}{u(x) + 2} = h(u(x))\).
🔢 Étape 2 : \(u(x) = \left(x – \frac{1}{2}\right)^2 – \frac{1}{4} \geq -\dfrac{1}{4} > -2\) : \(u\) prend ses valeurs dans \(]-2 ; +\infty[\), où \(h\) est croissante.
🔢 Étape 3 : Donc \(f = h \circ u\) a les mêmes variations que \(u\) : décroissante sur \(\left]-\infty ; \dfrac{1}{2}\right]\), croissante sur \(\left[\dfrac{1}{2} ; +\infty\right[\).
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; \frac{1}{2}]\) et croissante sur \([\frac{1}{2} ; +\infty[\) (cohérent avec 1c).
Exercice 4 (6 points)
On considère \(f(x) = \dfrac{2(x – 1)}{2 – x}\) et \(g(x) = \dfrac{2}{3}x^3\).
1) Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
Correction détaillée
📘 Vérification : \(-2 – \dfrac{2}{x – 2} = \dfrac{-2(x – 2) – 2}{x – 2} = \dfrac{-2x + 2}{x – 2} = \dfrac{2(x – 1)}{2 – x}\) ✓.
🔢 Étape 1 : \(2(x – 1) = -2(2 – x) + 2\), donc \(f(x) = -2 + \dfrac{2}{2 – x} = -2 – \dfrac{2}{x – 2}\). \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{2\}\).
🔢 Étape 2 : \(k = -2 < 0\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty ; 2[\) et sur \(]2 ; +\infty[\).
🔢 Étape 3 : \(g\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) (\(x \mapsto x^3\) croissante, coefficient \(\frac{2}{3} > 0\)).
✅ \(f\) et \(g\) sont croissantes (\(f\) sur chaque intervalle de \(D_f\)).
2) Résoudre dans \(]-\infty ; 2[\) l’équation \(f(x) = 0\) et interpréter géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(f(x) = 0 \iff 2(x – 1) = 0 \iff x = 1\), et \(1 \in ]-\infty ; 2[\).
✅ \(S = \{1\}\) : \(C_f\) coupe l’axe des abscisses au point \((1, 0)\).
3) Tracer \(C_f\) et \(C_g\) dans un même repère orthonormé.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(C_f\) : hyperbole de centre \((2, -2)\), asymptotes \(x = 2\) et \(y = -2\), passant par \((0, -1)\), \((1, 0)\), \((3, -4)\), \((4, -3)\).
🔢 Étape 2 : \(C_g\) : cubique passant par \((0, 0)\), \((1, \frac{2}{3})\), \((-1, -\frac{2}{3})\), \((2, \frac{16}{3})\).
\(C_f\) (bleu, hyperbole) et \(C_g\) (rouge, cubique)
✅ Voir la figure ci-dessus.
4) Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de \(\dfrac{3(x – 1)}{x^2} \leq x(2 – x)\) sur \(\mathbb{R}^* \setminus \{2\}\) (on admet que \(\alpha < \beta\) sont les solutions de \(f(x) = g(x)\)).
Correction détaillée
⚠️ Le passage « inéquation \(\Leftrightarrow f \leq g\) » n’est valable que pour \(x < 2\) : il faut traiter \(x > 2\) séparément.
🔢 Étape 1 : Pour \(x \neq 0\), on multiplie par \(x^2 > 0\) : l’inéquation équivaut à \(3(x – 1) \leq x^3(2 – x)\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x < 2\) (donc \(2 – x > 0\)) : divisons par \(3(2 – x) > 0\) : \(\dfrac{x – 1}{2 – x} \leq \dfrac{x^3}{3}\), soit \(f(x) \leq g(x)\) (on a multiplié par \(2\)).
🔢 Étape 3 : Lecture graphique : sur \(]-\infty ; 2[\), \(C_f\) est au-dessous de \(C_g\) exactement entre les deux points d’intersection, c’est-à-dire pour \(x \in [\alpha, \beta]\) (avec \(\alpha \approx -1{,}28\) et \(\beta \approx 1{,}55\), solutions de \(x^4 – 2x^3 + 3x – 3 = 0\)).
🔢 Étape 4 : Pour \(x > 2\) : \(3(x – 1) > 0\) et \(x^3(2 – x) < 0\), l’inéquation est fausse. (Attention : on ne peut pas conclure avec \(f \leq g\) sur \(]2 ; +\infty[\), car diviser par \(2 – x < 0\) change le sens.)
🔢 Étape 5 : Il faut enfin exclure \(x = 0\) (interdit par \(x^2\) au dénominateur) : \(0 \in [\alpha, \beta]\).
✅ \(S = [\alpha ; \beta] \setminus \{0\}\), avec \(\alpha \approx -1{,}28\) et \(\beta \approx 1{,}55\).