Ce devoir 1 (modèle 1) du semestre 2 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 1 semestre 2 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 1 · Semestre 2 · Tronc Commun
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Exercice 1 (7 pts) – Limites
Calculer les limites suivantes :
a) \(\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{3x^2 – 5x – 2}{x^2 + 3x – 10}\)
Correction détaillée
📘 Méthode : factoriser par \((x – 2)\) puis simplifier.
🔢 Étape 1 : En \(2\) : forme indéterminée \(\dfrac{0}{0}\). On factorise : \(3x^2 – 5x – 2 = (x – 2)(3x + 1)\) et \(x^2 + 3x – 10 = (x – 2)(x + 5)\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x \neq 2\) : \(\dfrac{3x + 1}{x + 5} \to \dfrac{7}{7} = 1\).
✅ \(1\).
b) \(\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^3 + 1}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\) et \(x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1)\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x \neq -1\) : \(\dfrac{x + 1}{x^2 – x + 1} \to \dfrac{0}{3} = 0\).
✅ \(0\).
c) \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(2x – \sqrt{x + 4}\right)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2x – \sqrt{x + 4} = x\left(2 – \dfrac{\sqrt{x + 4}}{x}\right)\) et \(\dfrac{\sqrt{x + 4}}{x} = \sqrt{\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x^2}} \to 0\).
🔢 Étape 2 : Donc le facteur entre parenthèses tend vers \(2\) et \(x \to +\infty\).
✅ \(+\infty\).
d) \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x + 2} + 3}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On divise numérateur et dénominateur par \(\sqrt{x}\) : \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + \frac{3}{\sqrt{x}}}\).
🔢 Étape 2 : Le numérateur tend vers \(+\infty\) et le dénominateur vers \(1\).
✅ \(+\infty\).
e) \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\sin x + 3x}{2x – 2\sin 3x}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On divise par \(x\) : \(\dfrac{2\frac{\sin x}{x} + 3}{2 – 6\frac{\sin 3x}{3x}}\).
🔢 Étape 2 : Avec \(\frac{\sin t}{t} \to 1\) : le quotient tend vers \(\dfrac{2 + 3}{2 – 6} = -\dfrac{5}{4}\).
✅ \(-\dfrac{5}{4}\).
f) \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 – \sqrt{\cos 2x}}{x \sin 3x}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Conjugué : \(1 – \sqrt{\cos 2x} = \dfrac{1 – \cos 2x}{1 + \sqrt{\cos 2x}} = \dfrac{2\sin^2 x}{1 + \sqrt{\cos 2x}}\).
🔢 Étape 2 : Donc l’expression vaut \(\dfrac{2\sin^2 x}{x \sin 3x} \times \dfrac{1}{1 + \sqrt{\cos 2x}}\), et \(\dfrac{\sin^2 x}{x \sin 3x} = \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2 \dfrac{x}{\sin 3x} \to 1 \times \dfrac{1}{3}\).
🔢 Étape 3 : Limite : \(2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\).
✅ \(\dfrac{1}{3}\).
Exercice 2 (5 pts)
\(f(x) = \dfrac{x^3 + 1}{x^2 – x}\).
1) Déterminer \(D_f\) et calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2 – x = x(x – 1) \neq 0\) : \(x \neq 0\) et \(x \neq 1\).
🔢 Étape 2 : \(f(x) \sim \dfrac{x^3}{x^2} = x\) en \(+\infty\).
✅ \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{0 ; 1\}\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Numérateur en \(1\) : \(2 > 0\). Dénominateur \(x(x – 1)\) : positif pour \(x > 1\), négatif pour \(x < 1\) (près de \(1\)), tendant vers \(0\).
🔢 Étape 2 : \(x \to 1^+\) : \(\dfrac{2}{0^+} = +\infty\). \(x \to 1^-\) : \(\dfrac{2}{0^-} = -\infty\).
✅ \(\lim\limits_{x \to 1^+} f = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to 1^-} f = -\infty\) : la droite \(x = 1\) est asymptote verticale.
3) Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty}(f(x) – x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{x^3 + 1}{x^3 – x^2} \to 1\).
🔢 Étape 2 : \(f(x) – x = \dfrac{x^3 + 1 – x^3 + x^2}{x^2 – x} = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 – x} \to 1\).
✅ \(\lim \dfrac{f(x)}{x} = 1\) et \(\lim (f(x) – x) = 1\) : la droite \(y = x + 1\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(+\infty\).
Exercice 3 (4,5 pts)
Soit \(a \in \mathbb{R}\) et \(f(x) = \dfrac{x + 3}{\sqrt{1 – x}}\) si \(x < -3\) ; \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^2 + ax\) si \(x \geq -3\).
1) Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et montrer que \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(f(x) = \dfrac{1}{3}x^2 + ax = x^2\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{a}{x}\right) \to +\infty\).
🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : posons \(t = -x \to +\infty\). \(f(x) = \dfrac{3 – t}{\sqrt{1 + t}} = \dfrac{-t\left(1 – \frac{3}{t}\right)}{\sqrt{t}\sqrt{1 + \frac{1}{t}}} = -\sqrt{t} \times \dfrac{1 – \frac{3}{t}}{\sqrt{1 + \frac{1}{t}}}\).
🔢 Étape 3 : Le facteur \(\dfrac{1 – 3/t}{\sqrt{1 + 1/t}} \to 1\) et \(-\sqrt{t} \to -\infty\).
✅ \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x \to -3^-} f(x)\) puis déterminer \(a\) pour que \(f\) admette une limite en \(-3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\lim\limits_{x \to -3^-} f(x) = \dfrac{0}{\sqrt{4}} = 0\).
🔢 Étape 2 : À droite : \(\lim\limits_{x \to -3^+} f(x) = f(-3) = \dfrac{9}{3} – 3a = 3 – 3a\).
🔢 Étape 3 : \(f\) admet une limite en \(-3\) si et seulement si les limites à gauche et à droite sont égales : \(3 – 3a = 0\).
✅ \(\lim\limits_{x \to -3^-} f(x) = 0\) et \(a = 1\) (la limite en \(-3\) est alors \(0\)).
Exercice 4 (3,5 pts)
\(f(x) = 2\cos^3 x – \cos x + 2\sin x – 2\sin^3 x\).
1) Calculer \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(\dfrac{\pi}{4}\) : \(\cos = \sin = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos^3 = \sin^3 = \dfrac{\sqrt{2}}{4}\). \(f = \dfrac{\sqrt{2}}{2} – \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} – \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
🔢 Étape 2 : En \(-\dfrac{\pi}{2}\) : \(\cos = 0\), \(\sin = -1\). \(f = 0 – 0 – 2 + 2 = 0\).
✅ \(f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0\).
2) Montrer que \(2\cos^3 x – \cos x = \cos x\cos 2x\) et \(\sin x – \sin^3 x = \dfrac{1}{2}\sin 2x\cos x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2\cos^3 x – \cos x = \cos x(2\cos^2 x – 1) = \cos x\cos 2x\).
🔢 Étape 2 : \(\sin x – \sin^3 x = \sin x(1 – \sin^2 x) = \sin x\cos^2 x = \dfrac{1}{2}(2\sin x\cos x)\cos x = \dfrac{1}{2}\sin 2x\cos x\).
✅ Les deux égalités sont démontrées.
3) Déduire que \(f(x) = \sqrt{2}\cos x\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x) = (2\cos^3 x – \cos x) + 2(\sin x – \sin^3 x) = \cos x\cos 2x + \sin 2x\cos x = \cos x(\cos 2x + \sin 2x)\).
🔢 Étape 2 : \(\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x\right) = \sqrt{2}\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right)\).
✅ \(f(x) = \sqrt{2}\cos x\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right)\) (contrôle en \(\frac{\pi}{4}\) : \(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ✓).