Ce devoir 1 (modèle 1) du semestre 1 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 1 semestre 1 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 1 · Semestre 1 · Tronc Commun
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Exercice 1
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x) = x^2 – 2x – 3\) et \(g(x) = \dfrac{x + 1}{1 – x}\).
1) Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
Correction détaillée
📘 Méthode : forme canonique pour la parabole ; écriture \(\dfrac{ax+b}{cx+d} = \alpha + \dfrac{k}{x – x_0}\) pour l’hyperbole.
🔢 Étape 1 : \(f\) : \(D_f = \mathbb{R}\), \(a = 1 > 0\). Forme canonique : \(f(x) = (x – 1)^2 – 4\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\), de minimum \(f(1) = -4\).
🔢 Étape 2 : \(g\) : \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}\). On écrit \(g(x) = \dfrac{x + 1}{1 – x} = -\dfrac{(x – 1) + 2}{x – 1} = -1 – \dfrac{2}{x – 1}\).
🔢 Étape 3 : La fonction \(x \mapsto -\dfrac{2}{x – 1}\) est croissante sur \(]-\infty ; 1[\) et sur \(]1 ; +\infty[\) (car \(k = -2 < 0\)). Donc \(g\) est croissante sur chacun de ces intervalles.
✅ \(f\) : décroissante sur \(]-\infty ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\) (minimum \(-4\)). \(g\) : croissante sur \(]-\infty ; 1[\) et sur \(]1 ; +\infty[\).
2) a) Résoudre l’équation \(f(x) = 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x) = x^2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)\).
🔢 Étape 2 : \((x – 3)(x + 1) = 0 \iff x = 3\) ou \(x = -1\).
✅ \(S = \{-1 ; 3\}\).
2) b) Interpréter géométriquement le résultat précédent.
Correction détaillée
🔢 Les solutions de \(f(x) = 0\) sont les abscisses des points d’intersection de \(C_f\) avec l’axe des abscisses.
✅ \(C_f\) coupe l’axe des abscisses aux points \((-1, 0)\) et \((3, 0)\).
3) Quelle est la nature de \(C_f\) et \(C_g\) et quels sont leurs éléments caractéristiques ?
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(C_f\) : parabole (car \(f\) est un trinôme du second degré). Sommet \(S(1, -4)\), axe de symétrie la droite \(x = 1\), branches vers le haut.
🔢 Étape 2 : \(C_g\) : \(g(x) = -1 – \dfrac{2}{x – 1}\), donc \(C_g\) est une hyperbole de centre \(\Omega(1, -1)\), d’asymptotes \(x = 1\) et \(y = -1\).
✅ \(C_f\) : parabole de sommet \(S(1, -4)\) ; \(C_g\) : hyperbole de centre \(\Omega(1, -1)\).
4) a) Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R} \setminus \{1\})\) : \(f(x) = g(x) \iff (x + 1)(x – 2)^2 = 0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x \neq 1\) : \(f(x) = g(x) \iff (x – 3)(x + 1) = \dfrac{x + 1}{1 – x} \iff (x – 3)(x + 1)(1 – x) = x + 1\) (on multiplie par \(1 – x \neq 0\)).
🔢 Étape 2 : \(\iff (x + 1)\left[(x – 3)(1 – x) – 1\right] = 0\).
🔢 Étape 3 : \((x – 3)(1 – x) – 1 = -x^2 + 4x – 3 – 1 = -(x – 2)^2\).
🔢 Étape 4 : Donc \(f(x) = g(x) \iff -(x + 1)(x – 2)^2 = 0 \iff (x + 1)(x – 2)^2 = 0\).
✅ L’équivalence est démontrée.
4) b) En déduire que \(C_f\) et \(C_g\) se coupent en deux points à déterminer.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((x + 1)(x – 2)^2 = 0 \iff x = -1\) ou \(x = 2\) (deux valeurs différentes de \(1\)).
🔢 Étape 2 : \(f(-1) = 0\) et \(f(2) = 4 – 4 – 3 = -3\). Contrôle : \(g(-1) = 0\) ✓ ; \(g(2) = \dfrac{3}{-1} = -3\) ✓.
✅ \(C_f\) et \(C_g\) se coupent en \(A(-1, 0)\) et \(B(2, -3)\).
5) Tracer les courbes \(C_f\) et \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On trace la parabole avec \(S(1, -4)\) et les points \((-1, 0)\), \((3, 0)\), \((0, -3)\), \((2, -3)\).
🔢 Étape 2 : On trace l’hyperbole avec ses asymptotes \(x = 1\) et \(y = -1\), en passant par \((0, 1)\), \((-1, 0)\), \((2, -3)\), \((3, -2)\).
\(C_f\) (bleu) et \(C_g\) (rouge) ; asymptotes de \(C_g\) en pointillés
✅ Voir la figure ci-dessus.
Exercice 2
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par : \(f(x) = x^2 – 3x + 2\) et \(g(x) = \sqrt{x + 1}\).
1) Dresser le tableau de variation de \(f\) et \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x) = \left(x – \dfrac{3}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4}\) : décroissante sur \(\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right]\), croissante sur \(\left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[\), minimum \(-\dfrac{1}{4}\).
🔢 Étape 2 : \(D_g = [-1 ; +\infty[\) et \(g\) est croissante sur \(D_g\) (composée de \(x \mapsto x + 1\) croissante et de \(\sqrt{\ }\) croissante), avec \(g(-1) = 0\).
✅ \(f\) : \(\searrow\) puis \(\nearrow\), min \(-\frac{1}{4}\) en \(\frac{3}{2}\) ; \(g\) : \(\nearrow\) sur \([-1 ; +\infty[\).
2) Déterminer les points d’intersection de \(C_f\) avec les axes du repère.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec l’axe \((Oy)\) : \(f(0) = 2\), point \((0, 2)\).
🔢 Étape 2 : Avec l’axe \((Ox)\) : \(f(x) = (x – 1)(x – 2) = 0 \iff x = 1\) ou \(x = 2\).
✅ \((0, 2)\), \((1, 0)\) et \((2, 0)\).
3) Tracer \(C_f\) et \(C_g\) (on donne \(f(3) = g(3) = 2\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(C_f\) : parabole de sommet \(\left(\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{4}\right)\) passant par \((0, 2)\), \((1, 0)\), \((2, 0)\), \((3, 2)\).
🔢 Étape 2 : \(C_g\) : demi-parabole couchée partant de \((-1, 0)\), passant par \((0, 1)\), \((3, 2)\).
\(C_f\) (bleu) et \(C_g\) (rouge)
✅ Voir la figure ci-dessus.
4) a) Soit \(H(x) = x^2 – 3|x| + 2\). Montrer que \(-\dfrac{1}{4}\) est la valeur minimale de \(H\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé du PDF dit « \(1\) est la valeur minimale ». C’est une erreur d’énoncé : le minimum vaut \(-\frac{1}{4}\).
🔢 Étape 1 : Comme \(x^2 = |x|^2\) : \(H(x) = |x|^2 – 3|x| + 2 = \left(|x| – \dfrac{3}{2}\right)^2 – \dfrac{1}{4}\).
🔢 Étape 2 : Donc \(H(x) \geq -\dfrac{1}{4}\) pour tout \(x\), avec égalité pour \(|x| = \dfrac{3}{2}\).
✅ \(H\) admet un minimum \(-\dfrac{1}{4}\), atteint en \(x = \pm\dfrac{3}{2}\).
4) b) Montrer que \(H\) est paire.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_H = \mathbb{R}\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(H(-x) = (-x)^2 – 3|-x| + 2 = x^2 – 3|x| + 2 = H(x)\).
✅ \(H\) est paire.
4) c) Montrer que \((\forall x \in [0 ; +\infty[)\) : \(H(x) = f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x \geq 0\) : \(|x| = x\), donc \(H(x) = x^2 – 3x + 2 = f(x)\).
✅ \(H(x) = f(x)\) pour tout \(x \geq 0\).
4) d) Tracer la courbe de \(H\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x \geq 0\), \(C_H\) coïncide avec \(C_f\).
🔢 Étape 2 : \(H\) étant paire, on obtient le reste de \(C_H\) par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
\(C_H\) : symétrique de la partie \(x \geq 0\) par rapport à l’axe des ordonnées
✅ Voir la figure ci-dessus (forme de « W »).