Ce devoir 3 du semestre 2 pour la 1ère Bac Sc Ex est proposé avec des exercices corrigés et des corrections détaillées pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Devoir 3 Semestre 2 corrigé 1ère Bac
Devoir 3 (Semestre 2) · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Droite et plan dans l’espace
1) Dans l’espace : \(A(0;1;2)\), \(B(2;-1;1)\), \(\vec u(1;0;-2)\), \(\vec v(1;-1;-3)\), \(\vec w(1;-1;2)\). Donner une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(B\) de vecteur directeur \(\vec w\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Droite par \(B\) de vecteur directeur \(\vec w\) : \(M=B+t\vec w\). Colinéarité : coordonnées proportionnelles. Coplanarité : déterminant nul. Si \(\vec u,\vec v,\vec w\) ne sont pas coplanaires, la droite dirigée par \(\vec w\) coupe le plan dirigé par \(\vec u,\vec v\) en un seul point.
🔢 \(M(x;y;z)\in(D)\iff\overrightarrow{BM}=t\vec w\).
✅ \(\begin{cases}x=2+t\\y=-1-t\\z=1+2t\end{cases}\ (t\in\mathbb R)\).
2) a) Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) ne sont pas colinéaires.
Correction détaillée
🔢 \(\vec u(1;0;-2)\) et \(\vec v(1;-1;-3)\) : \(\dfrac11=1\) mais \(\dfrac0{-1}=0\neq1\).
✅ Non colinéaires.
3) b) Montrer que \(2x-y+z-1=0\) est une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A\) et de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\vec n(2;-1;1)\) : \(\vec n\cdot\vec u=2-2=0\) et \(\vec n\cdot\vec v=2+1-3=0\) : \(\vec n\) est normal à \((P)\).
🔢 Étape 2 : \(A\) : \(2\cdot0-1+2-1=0\) ✓.
✅ \((P):2x-y+z-1=0\).
4) a) Montrer que \(\vec u,\vec v,\vec w\) ne sont pas coplanaires.
Correction détaillée
🔢 \(\begin{vmatrix}1&0&-2\\1&-1&-3\\1&-1&2\end{vmatrix}=1(-2-3)-0+(-2)(-1+1)=-5\neq0\).
✅ Non coplanaires (déterminant \(-5\)).
5) b) En déduire que \((D)\) perce le plan \((P)\) et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\vec w\) n’est pas combinaison de \(\vec u,\vec v\) : \(\vec w\) n’est pas parallèle à \((P)\) (\(\vec n\cdot\vec w=2+1+2=5\neq0\)).
🔢 Étape 2 : On remplace dans \((P)\) : \(2(2+t)-(-1-t)+(1+2t)-1=5+5t=0\Rightarrow t=-1\).
✅ \((D)\) coupe \((P)\) au point \(I(1;0;-1)\).
Exercice 2
Étude complète d’une fonction rationnelle
1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}\) et \(C_f\) sa courbe. Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Plan d’étude : domaine, limites et asymptotes, dérivée et variations, dérivée seconde et concavité (point d’inflexion : \(f »\) change de signe), tracé.
🔢 \(x^2\neq0\iff x\neq0\).
✅ \(D_f=\mathbb R^*\).
2) Calculer \(\lim_{x\to0}f(x)\) et interpréter.
Correction détaillée
🔢 Numérateur \(\to1\), dénominateur \(x^2\to0^+\).
✅ \(\lim_{x\to0}f(x)=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
3) a) Calculer \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x-2-\dfrac1x+\dfrac1{x^2}\).
✅ \(-\infty\) en \(-\infty\) ; \(+\infty\) en \(+\infty\).
4) b) Montrer que \((D):y=x-2\) est asymptote oblique à \(C_f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x-2)=-\dfrac1x+\dfrac1{x^2}=\dfrac{1-x}{x^2}\to0\) quand \(x\to\pm\infty\).
✅ \((D)\) est asymptote oblique en \(\pm\infty\).
5) c) Étudier la position relative de \(C_f\) par rapport à \((D)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-(x-2)=\dfrac{1-x}{x^2}\), du signe de \(1-x\) (\(x^2>0\)).
✅ \(C_f\) est au-dessus de \((D)\) pour \(x<1\) (\(x\neq0\)), en dessous pour \(x>1\), et coupe \((D)\) au point \((1;-1)\).
6) a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x^3}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x-2-x^{-1}+x^{-2}\), \(f'(x)=1+\dfrac1{x^2}-\dfrac2{x^3}=\dfrac{x^3+x-2}{x^3}\).
🔢 Étape 2 : \(x^3+x-2=(x-1)(x^2+x+2)\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{(x-1)(x^2+x+2)}{x^3}\).
7) b) Montrer que le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x(x-1)\). c) Dresser le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2+x+2>0\) (\(\Delta=-7\)) et \(\dfrac1{x^3}\) a le signe de \(x\) ; \(\dfrac{x-1}{x^3}=\dfrac{x(x-1)}{x^4}\) : même signe que \(x(x-1)\).
🔢 Étape 2 : \(f’>0\) sur \(]-\infty;0[\) et \(]1;+\infty[\) ; \(f'<0\) sur \(]0;1[\). \(f(1)=-1\).
✅ \(f\) croissante sur \(]-\infty;0[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)), décroissante sur \(]0;1]\) (de \(+\infty\) à \(f(1)=-1\)), croissante sur \([1;+\infty[\) (de \(-1\) à \(+\infty\)). Minimum local \(-1\) en 1.
8) a) Montrer que \(f »(x)=\dfrac{6-2x}{x^4}\). b) Étudier la concavité de \(C_f\) et montrer qu’elle admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1+x^{-2}-2x^{-3}\) : \(f »(x)=-2x^{-3}+6x^{-4}=\dfrac{-2x+6}{x^4}\).
🔢 Étape 2 : \(x^4>0\) : \(f »\) du signe de \(6-2x\) : positif si \(x<3\), négatif si \(x>3\).
🔢 Étape 3 : \(f(3)=\dfrac{27-18-3+1}9=\dfrac79\).
✅ \(C_f\) est convexe sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;3[\), concave sur \(]3;+\infty[\) ; point d’inflexion \(\left(3;\dfrac79\right)\).
9) On admet \(f(-1)=-1\), \(f\left(-\dfrac12\right)=\dfrac72\) et \(f\left(\dfrac12\right)=\dfrac12\). Construire \(C_f\).
Correction détaillée
⚠️ Le tracé n’est pas dessiné ici ; j’ai donné les éléments à placer. Contrôle des valeurs admises : \(f(-1)=-1\), \(f(-\frac12)=\frac72\), \(f(\frac12)=\frac12\) ✓.
🔢 Éléments : asymptotes \(x=0\) et \(y=x-2\) ; minimum local \((1;-1)\) ; inflexion \(\left(3;\frac79\right)\) ; points \((-1;-1)\), \(\left(-\frac12;\frac72\right)\), \(\left(\frac12;\frac12\right)\).
✅ Courbe : à gauche de 0, branche croissante de \(-\infty\) (asymptote oblique, au-dessus de \((D)\)) à \(+\infty\) (le long de \(x=0\)) ; à droite, descendant de \(+\infty\) jusqu’au minimum \((1;-1)\), remontant en suivant \((D)\) par en dessous.