Ce devoir 2 du semestre 2 pour la 1ère Bac Sc Ex est proposé avec des exercices corrigés et des corrections détaillées pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Devoir 2 Semestre 2 corrigé 1ère Bac

Devoir 2 (Semestre 2) · Série de synthèse 1ère Bac

📌 Série de synthèse ⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée 📝 Corrections étape par étape

Exercice 1

Calcul de fonctions dérivées

1) Calculer \(f'(x)\) sur \(I=\mathbb R\) : \(f(x)=\sqrt3x^3-\dfrac52x^2+11x-13\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formules : \((x^n)’=nx^{n-1}\) ; \((\sqrt x)’=\dfrac1{2\sqrt x}\) ; \((\cos ax)’=-a\sin ax\) ; \((\sin ax)’=a\cos ax\) ; \((uv)’=u’v+uv’\) ; \(\left(\dfrac1u\right)’=-\dfrac{u’}{u^2}\) ; \(\left(\sqrt u\right)’=\dfrac{u’}{2\sqrt u}\) ; \((u^n)’=nu’u^{n-1}\).

🔢 Dérivée terme à terme.

✅ \(f'(x)=3\sqrt3\,x^2-5x+11\).

2) \(f(x)=(x^2-4x)\sqrt x\) sur \(I=]0;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=(2x-4)\sqrt x+\dfrac{x^2-4x}{2\sqrt x}=\dfrac{2x(2x-4)+x^2-4x}{2\sqrt x}=\dfrac{5x^2-12x}{2\sqrt x}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{5x-12}2\sqrt x\).

3) \(f(x)=\sqrt{2x^2-3x+5}\) sur \(I=\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(2x^2-3x+5>0\) pour tout \(x\) (\(\Delta=9-40<0\)) : \(f\) dérivable sur \(\mathbb R\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{4x-3}{2\sqrt{2x^2-3x+5}}\).

4) \(f(x)=\dfrac1{2+\cos x}\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \(2+\cos x\ge1>0\). \(f’=-\dfrac{(2+\cos x)’}{(2+\cos x)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{\sin x}{(2+\cos x)^2}\).

5) \(f(x)=4\cos2x-6\sin3x\) sur \(\mathbb R\).

Correction détaillée

🔢 \((\cos2x)’=-2\sin2x\) et \((\sin3x)’=3\cos3x\).

✅ \(f'(x)=-8\sin2x-18\cos3x\).

Exercice 2

Limite par le nombre dérivé

1) \(f(x)=(x^2+1)^9\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f'(x)=18x(x^2+1)^8\).

Correction détaillée

🔢 \((u^9)’=9u’u^8\) avec \(u=x^2+1\), \(u’=2x\).

✅ \(f'(x)=18x(x^2+1)^8\).

2) Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{(x^2+1)^9-1}x\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Limite et nombre dérivé : \(\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\).

🔢 \(f(0)=1\) : la limite est \(\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)\).

✅ \(f'(0)=18\times0=0\).

Exercice 3

Fonction par morceaux, dérivabilité et approximation

1) Soit \(f(x)=\begin{cases}\sqrt{x-3}&\text{si }x>3\\x^2-x-6&\text{si }x\le3\end{cases}\) et \(C_f\) sa courbe. a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en 3.

Correction détaillée

⚠️ Le radicand est lu \(x-3\) (le sujet écrit « \(\sqrt{x}-3\) » mais \(f'(4)=\frac12\) n’est vrai que pour \(\sqrt{x-3}\)).

📘 Méthode : Dérivabilité : \(f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) ; si la limite est \(\pm\infty\), demi-tangente verticale.

🔢 Étape 1 : \(f(3)=9-3-6=0\).

🔢 Étape 2 : À droite : \(\dfrac{\sqrt{x-3}}{x-3}=\dfrac1{\sqrt{x-3}}\to+\infty\).

🔢 Étape 3 : À gauche : \(\dfrac{x^2-x-6}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{x-3}=x+2\to5\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en 3 (limite \(+\infty\)) ; elle est dérivable à gauche, \(f’_g(3)=5\).

2) b) Donner une interprétation géométrique des résultats.

Correction détaillée

🔢 À gauche, \(C_f\) admet au point \((3;0)\) une demi-tangente de pente 5 ; à droite, une demi-tangente verticale.

✅ Demi-tangente à gauche de pente 5 (\(y=5(x-3)\)) ; demi-tangente verticale à droite (dirigée vers le haut) ; \(f\) n’est pas dérivable en 3.

3) a) Montrer que \(f\) est dérivable en 4 et que \(f'(4)=\dfrac12\). Interpréter.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Au voisinage de 4, \(f(x)=\sqrt{x-3}\), \(f'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x-3}}\).

🔢 Étape 2 : \(f'(4)=\dfrac1{2\sqrt1}\).

✅ \(f'(4)=\dfrac12\) : la tangente à \(C_f\) au point \((4;1)\) a pour pente \(\dfrac12\) : \(y=\dfrac12(x-4)+1\).

4) b) Donner une approximation de \(f(3{,}99)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Approximation affine : \(f(a+h)\approx f(a)+hf'(a)\) pour \(h\) petit.

🔢 \(3{,}99>3\) donc \(f(3{,}99)=\sqrt{0{,}99}\) ; approximation affine en \(a=4\), \(h=-0{,}01\) : \(f(4+h)\approx f(4)+hf'(4)=1+(-0{,}01)\times\dfrac12\).

✅ \(f(3{,}99)\approx0{,}995\) (valeur exacte \(0{,}99499\ldots\)).

Exercice 4

Étude d’une fonction rationnelle (dénominateur sans racine)

1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^2+2x-3}{x^2-2x+3}\) et \((C)\) sa courbe dans un repère orthonormé. Étudier les branches infinies de \((C)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Plan d’étude : domaine, parité, limites et asymptotes, dérivée et variations, dérivée seconde et concavité (\(f »>0\) : convexe ; \(f »<0\) : concave ; changement de signe : point d’inflexion), tracé.

🔢 Étape 1 : \(x^2-2x+3>0\) (\(\Delta=-8\)) : \(D_f=\mathbb R\).

🔢 Étape 2 : \(\lim_{\pm\infty}f=\lim\dfrac{x^2}{x^2}=1\).

✅ Asymptote horizontale \(y=1\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

2) Étudier la position de \((C)\) par rapport à la droite \((D):y=1\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-1=\dfrac{x^2+2x-3-x^2+2x-3}{x^2-2x+3}=\dfrac{4x-6}{x^2-2x+3}\), du signe de \(4x-6\).

✅ \((C)\) est au-dessus de \((D)\) pour \(x>\dfrac32\), en dessous pour \(x<\dfrac32\), et la coupe en \(\left(\dfrac32;1\right)\).

3) a) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R\) : \(f'(x)=\dfrac{4(-x^2+3x)}{(x^2-2x+3)^2}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Numérateur : \((2x+2)(x^2-2x+3)-(x^2+2x-3)(2x-2)\).

🔢 Étape 2 : \(=(2x^3-2x^2+2x+6)-(2x^3+2x^2-10x+6)=-4x^2+12x\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{4(-x^2+3x)}{(x^2-2x+3)^2}\) (contrôle numérique en \(x=1{,}7\)).

4) b) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f’\) est du signe de \(-x^2+3x=x(3-x)\) : \(<0\) sur \(]-\infty;0[\), \(>0\) sur \(]0;3[\), \(<0\) sur \(]3;+\infty[\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=-1\) ; \(f(3)=\dfrac{12}6=2\) ; limites \(1\) en \(\pm\infty\).

✅ \(f\) décroissante sur \(]-\infty;0]\) (de \(1\) à \(-1\)), croissante sur \([0;3]\) (de \(-1\) à \(2\)), décroissante sur \([3;+\infty[\) (de \(2\) à \(1\)). Minimum \(-1\) en 0, maximum \(2\) en 3.

5) Tracer la courbe \((C)\).

Correction détaillée

⚠️ Le tracé n’est pas dessiné ici : j’ai donné les éléments à placer (asymptotes, points remarquables, sens de variation).

🔢 Points : \(f(x)=0\iff x^2+2x-3=0\iff x=1\) ou \(x=-3\) ; \(f(0)=-1\) ; extrema \((0;-1)\) et \((3;2)\) ; \((C)\) coupe \((D)\) en \(\left(\dfrac32;1\right)\) ; asymptote \(y=1\).

✅ Branche gauche venant de \(y=1\) par en dessous, passant par \((-3;0)\), descendant jusqu\’au minimum \((0;-1)\), remontant par \((1;0)\) et \(\left(\dfrac32;1\right)\), culminant en \((3;2)\), puis redescendant vers \(y=1\) par au-dessus.

Exercice 5

Étude complète : asymptote oblique, concavité et équation paramétrée

1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^3-4x}{x^2-1}\), \((C)\) sa courbe. Déterminer \(D\) et montrer que \(f\) est impaire.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2-1=0\iff x=\pm1\) : \(D=\mathbb R\setminus\{-1;1\}\), symétrique par rapport à 0.

🔢 Étape 2 : \(f(-x)=\dfrac{-x^3+4x}{x^2-1}=-f(x)\).

✅ \(D=\mathbb R\setminus\{-1;1\}\) ; \(f\) impaire (\(C\) symétrique par rapport à \(O\)).

2) Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\), \(\lim_{x\to1^+}f(x)\) et \(\lim_{x\to1^-}f(x)\).

Correction détaillée

⚠️ Les indices des limites sont peu lisibles ; lu : \(+\infty\), \(1^+\), \(1^-\).

🔢 Étape 1 : \(f(x)\sim\dfrac{x^3}{x^2}=x\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En 1 : numérateur \(\to-3\) ; dénominateur \(x^2-1\to0^+\) si \(x\to1^+\), \(0^-\) si \(x\to1^-\).

✅ \(+\infty\) ; \(-\infty\) ; \(+\infty\) (asymptote verticale \(x=1\)).

3) a) Vérifier que \(f(x)=x-\dfrac{3x}{x^2-1}\). b) En déduire l’asymptote oblique à \((C)\) en \(+\infty\). c) Position de \((C)\) par rapport à \((\Delta):y=x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(x-\dfrac{3x}{x^2-1}=\dfrac{x^3-x-3x}{x^2-1}=\dfrac{x^3-4x}{x^2-1}\).

🔢 Étape 2 : b) \(f(x)-x=-\dfrac{3x}{x^2-1}\to0\) en \(\pm\infty\).

🔢 Étape 3 : c) Signe de \(-\dfrac{3x}{x^2-1}\) : \(x<-1\) : \(+\) ; \(-1<x<0\) : \(-\) ; \(0<x<1\) : \(+\) ; \(x>1\) : \(-\).

✅ Asymptote oblique \((\Delta):y=x\) ; \((C)\) au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]-\infty;-1[\) et \(]0;1[\), en dessous sur \(]-1;0[\) et \(]1;+\infty[\), et la coupe en \(O\).

4) a) Montrer que \(f'(x)=1+\dfrac{3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\). b) Étudier les variations de \(f\) puis donner le tableau.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(f'(x)=1-3\cdot\dfrac{(x^2-1)-x\cdot2x}{(x^2-1)^2}=1+\dfrac{3(x^2+1)}{(x^2-1)^2}\).

🔢 Étape 2 : b) \(f'(x)>0\) sur \(D\) : \(f\) strictement croissante sur chacun des intervalles \(]-\infty;-1[\), \(]-1;1[\), \(]1;+\infty[\).

🔢 Étape 3 : Limites : \(-\infty\) en \(-\infty\) ; en \(-1^-\) : \(+\infty\) ; en \(-1^+\) : \(-\infty\) ; en \(1^-\) : \(+\infty\) ; en \(1^+\) : \(-\infty\) ; \(+\infty\) en \(+\infty\).

✅ \(f\) croît de \(-\infty\) à \(+\infty\) sur chacun des trois intervalles (pas d’extremum).

5) a) Prouver que \(f »(x)=\dfrac{-6x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\). b) Étudier la concavité de \((C)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(f’=1+3(x^2+1)(x^2-1)^{-2}\) : \(f »=3\cdot\dfrac{2x(x^2-1)-2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2-1)^3}=\dfrac{6x(-x^2-3)}{(x^2-1)^3}\).

🔢 Étape 2 : b) \(x^2+3>0\) : \(f »\) du signe de \(\dfrac{-x}{x^2-1}\) : \(+\) sur \(]-\infty;-1[\), \(-\) sur \(]-1;0[\), \(+\) sur \(]0;1[\), \(-\) sur \(]1;+\infty[\).

✅ Convexe sur \(]-\infty;-1[\) et \(]0;1[\) ; concave sur \(]-1;0[\) et \(]1;+\infty[\) ; \(O(0;0)\) est point d’inflexion.

6) Tracer \((C)\).

Correction détaillée

⚠️ Le tracé n’est pas dessiné ici : j’ai donné les éléments à placer (asymptotes, points remarquables, sens de variation).

🔢 Éléments : asymptotes \(x=-1\), \(x=1\), \(y=x\) ; zéros : \(x^3-4x=0\iff x=0,\pm2\) ; centre de symétrie \(O\) ; \(f\) croissante sur chaque intervalle.

✅ Trois branches croissantes de \(-\infty\) à \(+\infty\), passant par \((-2;0)\), \((0;0)\) (point d’inflexion), \((2;0)\).

7) Soit \(m\) un paramètre réel. Déterminer graphiquement, suivant \(m\), le nombre de solutions de \(x^2(x-m)=4x-m\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^3-mx^2=4x-m\iff x^3-4x=m(x^2-1)\). \(x=\pm1\) n’est pas solution (\(1-m\neq4-m\) et \(-1-m\neq-4-m\)). Donc l’équation équivaut à \(f(x)=m\) sur \(D\).

🔢 Étape 2 : \(f\) est continue, strictement croissante sur chacun des trois intervalles, et prend toutes les valeurs de \(-\infty\) à \(+\infty\) : la droite \(y=m\) coupe \((C)\) exactement une fois dans chaque intervalle.

✅ Pour tout réel \(m\), l’équation a exactement 3 solutions (une dans chacun des intervalles \(]-\infty;-1[\), \(]-1;1[\), \(]1;+\infty[\)).

Exercice 6

Étude d’une fonction rationnelle (second sujet)

1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^2-5x+7}{x-3}\). a) Déterminer \(D_f\). b) Calculer \(\lim_{-\infty}f\), \(\lim_{+\infty}f\), \(\lim_{3^-}f\), \(\lim_{3^+}f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(x-3\neq0\) : \(D_f=\mathbb R\setminus\{3\}\).

🔢 Étape 2 : b) \(f(x)=x-2+\dfrac1{x-3}\) (car \((x-2)(x-3)+1=x^2-5x+7\)).

🔢 Étape 3 : En \(\pm\infty\) : \(f(x)\sim x\). En \(3\) : numérateur \(\to1>0\) ; \(3^+\) : \(\dfrac1{0^+}\) ; \(3^-\) : \(\dfrac1{0^-}\).

✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{3\}\) ; \(\lim_{-\infty}=-\infty\), \(\lim_{+\infty}=+\infty\), \(\lim_{3^-}=-\infty\), \(\lim_{3^+}=+\infty\).

2) a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]-\infty;3[\) et sur \(]3;+\infty[\). b) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(f\) est un quotient de polynômes, dérivable là où le dénominateur ne s’annule pas.

🔢 Étape 2 : b) \(f'(x)=\dfrac{(2x-5)(x-3)-(x^2-5x+7)}{(x-3)^2}=\dfrac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}=\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{(x-2)(x-4)}{(x-3)^2}\).

3) c) Montrer que \(f\) est croissante sur \(]-\infty;2]\) et \([4;+\infty[\), décroissante sur \([2;3[\) et \(]3;4]\). d) Dresser le tableau de variations.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Le dénominateur \((x-3)^2>0\) : \(f’\) du signe de \((x-2)(x-4)\) : \(+\) pour \(x<2\) ou \(x>4\), \(-\) pour \(2<x<4\).

🔢 Étape 2 : \(f(2)=\dfrac{4-10+7}{-1}=-1\) ; \(f(4)=\dfrac{16-20+7}1=3\).

✅ \(f\) : \(-\infty\nearrow-1\) (en 2) \(\searrow-\infty\) (en \(3^-\)) ; puis \(+\infty\searrow3\) (en 4) \(\nearrow+\infty\). Maximum local \(-1\) en 2, minimum local \(3\) en 4.

4) Donner l’équation de la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse 1.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(1)=\dfrac{1-5+7}{-2}=-\dfrac32\) ; \(f'(1)=\dfrac{(-1)(-3)}{4}=\dfrac34\).

🔢 Étape 2 : \(y=\dfrac34(x-1)-\dfrac32\).

✅ \(y=\dfrac34x-\dfrac94\).