Ce devoir 1 du semestre 2 pour la 1ère Bac Sc Ex est proposé avec des exercices corrigés et des corrections détaillées pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Devoir 1 Semestre 2 corrigé 1ère Bac

Devoir 1 (Semestre 2) · Série de synthèse 1ère Bac

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Exercice 1

Limites (Devoir 1, modèle 1)

1) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{3x^2-5x-2}{x^2+3x-10}\)

Correction détaillée

📘 Méthode : Méthodes : polynôme / fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : terme de plus haut degré ; forme \(\frac00\) : factoriser ou multiplier par la quantité conjuguée ; \(\dfrac{\sin ax}{x}\to a\), \(\dfrac{1-\cos ax}{x^2}\to\dfrac{a^2}2\), \(\dfrac{\tan ax}x\to a\) ; \(\sqrt{x^2}=|x|\).

🔢 Étape 1 : Forme \(\frac00\) : \(3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)\) et \(x^2+3x-10=(x+5)(x-2)\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{3x+1}{x+5}\to\dfrac77\).

✅ \(1\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+1}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2+2x+1=(x+1)^2\) et \(x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{x+1}{x^2-x+1}\to\dfrac03\).

✅ \(0\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(2x-\sqrt{x+4}\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(2x-\sqrt{x+4}=x\left(2-\dfrac{\sqrt{x+4}}x\right)\) et \(\dfrac{\sqrt{x+4}}x\to0\).

✅ \(+\infty\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac x{\sqrt{x+2}+3}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac x{\sqrt{x+2}+3}=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{1+\frac2x}+\frac3{\sqrt x}}\to\dfrac{+\infty}1\).

✅ \(+\infty\).

5) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{2\sin x+3x}{2x-2\sin3x}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(x\) : \(\dfrac{2\frac{\sin x}x+3}{2-6\frac{\sin3x}{3x}}\to\dfrac{2+3}{2-6}\).

✅ \(-\dfrac54\).

6) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\sqrt{\cos2x}}{x\sin3x}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Conjugué : \(1-\sqrt{\cos2x}=\dfrac{1-\cos2x}{1+\sqrt{\cos2x}}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{1-\cos2x}{x\sin3x}=\dfrac{1-\cos2x}{x^2}\cdot\dfrac x{\sin3x}\to2\times\dfrac13\) et \(\dfrac1{1+\sqrt{\cos2x}}\to\dfrac12\).

✅ \(\dfrac13\).

Exercice 2

Limites (Devoir 1, modèle 2)

1) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^2+x-1}{x^3-5}\)

Correction détaillée

🔢 \(\sim\dfrac{2x^2}{x^3}=\dfrac2x\to0\).

✅ \(0\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\dfrac{3x^2-x-4}{\sqrt{x+5}+2x}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Numérateur et dénominateur \(\to0\) : \(3x^2-x-4=(3x-4)(x+1)\) ; \(\sqrt{x+5}+2x=\left(\sqrt{x+5}-2\right)+2(x+1)=(x+1)\left[\dfrac1{\sqrt{x+5}+2}+2\right]\).

🔢 Étape 2 : Quotient \(=\dfrac{3x-4}{\frac1{\sqrt{x+5}+2}+2}\to\dfrac{-7}{\frac14+2}\).

✅ \(-\dfrac{28}9\).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to3}\dfrac{10-5x}{x^2-6x+9}\)

Correction détaillée

🔢 Numérateur \(\to-5\), dénominateur \((x-3)^2\to0^+\).

✅ \(-\infty\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{5x^3+x-1}}{2x+1}\)

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{5x^3+x-1}\sim\sqrt5\,x\sqrt x\) et \(2x+1\sim2x\) : quotient \(\sim\dfrac{\sqrt5}2\sqrt x\).

✅ \(+\infty\).

5) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^4-2x^3+1}-x\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{x^4-2x^3+1}=x^2\sqrt{1-\frac2x+\frac1{x^4}}\sim x^2\to+\infty\) et \(-x\to+\infty\).

✅ \(+\infty\).

6) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{2x^2-x+1}+3x\right)\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x<0\) : \(\sqrt{2x^2-x+1}=|x|\sqrt{2-\frac1x+\frac1{x^2}}=-x\sqrt{\cdots}\).

🔢 Étape 2 : \(=x\left(3-\sqrt{2-\frac1x+\frac1{x^2}}\right)\), et \(3-\sqrt2>0\), \(x\to-\infty\).

✅ \(-\infty\).

7) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{4x^2-x+2}-2x\right)\)

Correction détaillée

🔢 Conjugué : \(\dfrac{-x+2}{\sqrt{4x^2-x+2}+2x}=\dfrac{-1+\frac2x}{\sqrt{4-\frac1x+\frac2{x^2}}+2}\to\dfrac{-1}4\).

✅ \(-\dfrac14\).

8) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos5x}{x\sin3x}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{1-\cos5x}{x^2}\cdot\dfrac x{\sin3x}\to\dfrac{25}2\times\dfrac13\).

✅ \(\dfrac{25}6\).

9) \(\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{\tan(x-2)}{x^2-4}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{\tan(x-2)}{x-2}\cdot\dfrac1{x+2}\to1\times\dfrac14\).

✅ \(\dfrac14\).

Exercice 3

Limites (Devoir 1, modèle 3)

1) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-5x^3+2x^2+1}{2x+8}\)

Correction détaillée

🔢 \(\sim\dfrac{-5x^3}{2x}=-\dfrac52x^2\to-\infty\).

✅ \(-\infty\).

2) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{4x^2+3x+7}}{5x}\)

Correction détaillée

⚠️ Le sens de \(x\to\pm\infty\) n’est pas lisible dans le scan ; j’ai traité \(-\infty\) et indiqué la valeur en \(+\infty\).

🔢 Étape 1 : \(x<0\) : \(\sqrt{4x^2+3x+7}=|x|\sqrt{4+\frac3x+\frac7{x^2}}=-x\sqrt{\cdots}\).

🔢 Étape 2 : Quotient \(=-\dfrac{\sqrt{4+\frac3x+\frac7{x^2}}}5\to-\dfrac25\).

✅ \(-\dfrac25\) (et \(+\dfrac25\) en \(+\infty\)).

3) \(\displaystyle\lim_{x\to-1}\dfrac{\sqrt{x+5}-2}{x+1}\)

Correction détaillée

🔢 Conjugué : \(\dfrac{(x+5)-4}{(x+1)(\sqrt{x+5}+2)}=\dfrac1{\sqrt{x+5}+2}\).

✅ \(\dfrac14\).

4) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(3x+\sqrt{x^2+7}\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(x<0\) : \(\sqrt{x^2+7}=-x\sqrt{1+\frac7{x^2}}\), donc \(3x+\sqrt{x^2+7}=x\left(3-\sqrt{1+\frac7{x^2}}\right)\to-\infty\cdot2\).

✅ \(-\infty\).

5) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{9x^2+5}-3x\right)\)

Correction détaillée

🔢 Conjugué : \(\dfrac5{\sqrt{9x^2+5}+3x}\to0\).

✅ \(0\).

6) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos3x}{x\tan x}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{1-\cos3x}{x^2}\cdot\dfrac x{\tan x}\to\dfrac92\times1\).

✅ \(\dfrac92\).

7) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Conjugué : \(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}=\dfrac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\).

🔢 Étape 2 : Quotient \(=\dfrac{\sin x}x\cdot\dfrac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}2\to1\times1\).

✅ \(1\).

8) \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}\dfrac{x+\sqrt{x^2-2x}-2}{x-2}\)

Correction détaillée

⚠️ Le radicand est lu \(x^2-2x\) (avec \(x^2-2x-2\) la limite en 2 n’aurait pas de sens) ; la fonction n’est définie à droite de 2 que pour \(x>2\), d’où \(x\to2^+\).

🔢 Étape 1 : \(x^2-2x=x(x-2)\ge0\) exige \(x\ge2\) (ou \(x\le0\)).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{(x-2)+\sqrt{x(x-2)}}{x-2}=1+\dfrac{\sqrt x}{\sqrt{x-2}}\to+\infty\).

✅ \(+\infty\).

Exercice 4

Fonction rationnelle et asymptote oblique

1) Soit \(f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2-x}\). Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\) et calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x^2-x=x(x-1)\neq0\iff x\neq0\) et \(x\neq1\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)\sim\dfrac{x^3}{x^2}=x\).

✅ \(D=\mathbb R\setminus\{0;1\}\) ; \(\lim_{+\infty}f=+\infty\).

2) Calculer \(\lim_{x\to1^+}f(x)\) et \(\lim_{x\to1^-}f(x)\).

Correction détaillée

⚠️ Les indices des limites de cette question sont peu lisibles ; lu : \(x\to1^+\) et \(x\to1^-\).

🔢 Étape 1 : Numérateur \(\to2\) ; dénominateur \(x(x-1)\to0\) avec \(x>0\).

🔢 Étape 2 : \(1^+\) : \(x-1>0\), \(\dfrac2{0^+}=+\infty\) ; \(1^-\) : \(\dfrac2{0^-}=-\infty\).

✅ \(\lim_{1^+}f=+\infty\) ; \(\lim_{1^-}f=-\infty\) (asymptote verticale \(x=1\)).

3) Calculer \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\) et \(\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{x^3+1}{x^3-x^2}\to1\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)-x=\dfrac{x^3+1-x^3+x^2}{x^2-x}=\dfrac{x^2+1}{x^2-x}\to1\).

✅ \(\lim\dfrac{f(x)}x=1\) et \(\lim(f(x)-x)=1\) : la droite \(y=x+1\) est asymptote oblique.

Exercice 5

Fonction par morceaux et paramètre

1) Soit \(a\) un réel et \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x+3}{\sqrt{1-x}}&\text{si }x<-3\\\dfrac13x^2+ax&\text{si }x\ge-3\end{cases}\). Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et montrer que \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\).

Correction détaillée

⚠️ La limite demandée en premier est lue en \(+\infty\) (seul cas où l’expression \(\frac13x^2+ax\) intervient).

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(\dfrac13x^2+ax=x^2\left(\dfrac13+\dfrac ax\right)\to+\infty\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(\dfrac{x+3}{\sqrt{1-x}}\sim\dfrac x{\sqrt{-x}}=-\sqrt{-x}\) ; précisément \(\dfrac{x+3}{\sqrt{1-x}}=-\sqrt{1-x}+\dfrac4{\sqrt{1-x}}\to-\infty\).

✅ \(\lim_{+\infty}f=+\infty\) et \(\lim_{-\infty}f=-\infty\).

2) Calculer \(\lim_{x\to-3^-}f(x)\) puis déterminer \(a\) pour que \(f\) admette une limite au point \(-3\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Limite en un point : \(\lim_{x\to a}f\) existe \(\iff\) limites à gauche et à droite existent et sont égales.

🔢 Étape 1 : À gauche : \(\dfrac{x+3}{\sqrt{1-x}}\to\dfrac0{\sqrt4}=0\).

🔢 Étape 2 : À droite (et en \(-3\)) : \(f(-3)=\dfrac93-3a=3-3a\), et \(\lim_{-3^+}f=3-3a\) (polynôme).

🔢 Étape 3 : \(f\) a une limite en \(-3\) si et seulement si \(0=3-3a\).

✅ \(\lim_{-3^-}f=0\) ; \(a=1\).

Exercice 6

Limites d’une fonction par morceaux

1) \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-2x}{3x^2-7x+2}&\text{si }x>2\\\dfrac{-3x+1}{(x-2)^2}&\text{si }x<2\end{cases}\). Calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim_{x\to-\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(\sim\dfrac{x^2}{3x^2}\to\dfrac13\).

🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(\dfrac{-3x+1}{(x-2)^2}\sim\dfrac{-3x}{x^2}=-\dfrac3x\to0\).

✅ \(\dfrac13\) et \(0\).

2) Calculer \(\lim_{x\to2^+}f(x)\) et \(\lim_{x\to2^-}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(x>2\) : \(3x^2-7x+2=(3x-1)(x-2)\) donc \(f(x)=\dfrac{x}{3x-1}\to\dfrac25\).

🔢 Étape 2 : \(x<2\) : numérateur \(\to-5\), dénominateur \((x-2)^2\to0^+\).

✅ \(\lim_{2^+}f=\dfrac25\) ; \(\lim_{2^-}f=-\infty\).

Exercice 7

Comparaison

1) \(f(x)=\sqrt x-x(3+\sin x)\) sur \([0;+\infty[\). Montrer que \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt x-2x\right)=-\infty\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Comparaison : si \(f\le g\) au voisinage de \(+\infty\) et \(\lim g=-\infty\), alors \(\lim f=-\infty\).

🔢 \(\sqrt x-2x=x\left(\dfrac1{\sqrt x}-2\right)\to+\infty\times(-2)\).

✅ \(-\infty\).

2) a) Montrer que \(\forall x\in[0;+\infty[\) : \(f(x)\le\sqrt x-2x\). b) En déduire \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(3+\sin x\ge2\) et \(x\ge0\) : \(x(3+\sin x)\ge2x\), donc \(f(x)\le\sqrt x-2x\).

🔢 Étape 2 : b) \(f(x)\le\sqrt x-2x\to-\infty\).

✅ \(\lim_{+\infty}f=-\infty\).

Exercice 8

Suite et transformation en suite géométrique

1) \((U_n)\) : \(U_0=1\), \(U_{n+1}=\dfrac{2U_n-1}{2U_n+5}\). Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \(U_n>-1\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Suite géométrique : \(V_{n+1}=qV_n\Rightarrow V_n=V_0q^n\) et \(\sum_{k=0}^nV_k=V_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\).

🔢 Étape 1 : Récurrence. \(U_0=1>-1\).

🔢 Étape 2 : Si \(U_n>-1\) : \(U_{n+1}+1=\dfrac{2U_n-1+2U_n+5}{2U_n+5}=\dfrac{4(U_n+1)}{2U_n+5}\). Or \(U_n+1>0\) et \(2U_n+5>3>0\).

✅ \(U_{n+1}>-1\) : \(U_n>-1\) pour tout \(n\).

2) On pose \(V_n=\dfrac{2U_n+1}{U_n+1}\). a) Montrer que \((V_n)\) est géométrique de raison \(q=\dfrac34\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2U_{n+1}+1=\dfrac{4U_n-2+2U_n+5}{2U_n+5}=\dfrac{6U_n+3}{2U_n+5}\) et \(U_{n+1}+1=\dfrac{4U_n+4}{2U_n+5}\).

🔢 Étape 2 : \(V_{n+1}=\dfrac{6U_n+3}{4U_n+4}=\dfrac34\cdot\dfrac{2U_n+1}{U_n+1}\).

✅ \(V_{n+1}=\dfrac34V_n\) : géométrique de raison \(\dfrac34\).

3) b) Calculer \(V_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(V_0=\dfrac{2+1}{1+1}=\dfrac32\).

✅ \(V_n=\dfrac32\left(\dfrac34\right)^n\).

4) c) En déduire \(U_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(V_n(U_n+1)=2U_n+1\Rightarrow U_n(V_n-2)=1-V_n\).

✅ \(U_n=\dfrac{V_n-1}{2-V_n}=\dfrac{\frac32\left(\frac34\right)^n-1}{2-\frac32\left(\frac34\right)^n}\) (\(V_n\le\frac32<2\) : bien défini).

5) d) Calculer \(S_n=V_0+V_1+\cdots+V_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(S_n=V_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=\dfrac32\cdot\dfrac{1-\left(\frac34\right)^{n+1}}{\frac14}\).

✅ \(S_n=6\left[1-\left(\dfrac34\right)^{n+1}\right]\).

Exercice 9

Transformation de \(f\) en produit

1) \(f(x)=2\cos^3x-\cos x+2\sin x-2\sin^3x\). Calculer \(f\left(\dfrac\pi4\right)\) et \(f\left(-\dfrac\pi2\right)\).

Correction détaillée

📘 Méthode : Formules : \(\cos2x=2\cos^2x-1=\cos^2x-\sin^2x\), \(\sin2x=2\sin x\cos x\), \(a\cos x+b\sin x=r\cos(x-\varphi)\) avec \(r=\sqrt{a^2+b^2}\) ; \(\cos X=\cos\alpha\iff X=\pm\alpha+2k\pi\).

🔢 Étape 1 : \(f\left(\dfrac\pi4\right)=2\dfrac{\sqrt2}4-\dfrac{\sqrt2}2+\sqrt2-2\dfrac{\sqrt2}4=\dfrac{\sqrt2}2\).

🔢 Étape 2 : \(f\left(-\dfrac\pi2\right)=0-0+2(-1)-2(-1)=0\).

✅ \(f\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac{\sqrt2}2\) ; \(f\left(-\dfrac\pi2\right)=0\).

2) Montrer que \(2\cos^3x-\cos x=\cos x\cos2x\) et \(\sin x-\sin^3x=\dfrac12\sin2x\cos x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2\cos^3x-\cos x=\cos x(2\cos^2x-1)=\cos x\cos2x\).

🔢 Étape 2 : \(\sin x-\sin^3x=\sin x(1-\sin^2x)=\sin x\cos^2x=\dfrac12(2\sin x\cos x)\cos x\).

✅ Égalités démontrées.

3) En déduire que \(f(x)=\sqrt2\cos x\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)=\cos x\cos2x+\sin2x\cos x=\cos x(\cos2x+\sin2x)\).

🔢 Étape 2 : \(\cos2x+\sin2x=\sqrt2\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)\) (car \(\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2\)).

✅ \(f(x)=\sqrt2\cos x\cos\left(2x-\dfrac\pi4\right)\) (contrôle : \(x=\dfrac\pi4\) donne \(\dfrac{\sqrt2}2\)).

Exercice 10

Trigonométrie : factorisation et signe

1) \(A(x)=\sqrt3\left(4\cos^4x+\sin^22x\right)-2\sin2x\). Calculer \(A\left(\dfrac\pi4\right)\) et \(A\left(-\dfrac\pi6\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\left(\dfrac\pi4\right)=\sqrt3(4\cdot\dfrac14+1)-2=2\sqrt3-2\).

🔢 Étape 2 : \(A\left(-\dfrac\pi6\right)=\sqrt3\left(4\cdot\dfrac9{16}+\dfrac34\right)+\sqrt3=3\sqrt3+\sqrt3\).

✅ \(A\left(\dfrac\pi4\right)=2\sqrt3-2\) ; \(A\left(-\dfrac\pi6\right)=4\sqrt3\).

2) a) Montrer que \(4\cos^2x-\sin^22x=4\cos^4x\). b) En déduire \(A(x)=4\cos x\left(\sqrt3\cos x-\sin x\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(\sin^22x=4\sin^2x\cos^2x\) donc \(4\cos^2x-\sin^22x=4\cos^2x(1-\sin^2x)=4\cos^4x\).

🔢 Étape 2 : b) \(4\cos^4x+\sin^22x=4\cos^2x\), donc \(A(x)=4\sqrt3\cos^2x-2\sin2x=4\sqrt3\cos^2x-4\sin x\cos x\).

✅ \(A(x)=4\cos x(\sqrt3\cos x-\sin x)\).

3) Montrer que \(A(x)=8\cos x\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt3\cos x-\sin x=2\left(\dfrac{\sqrt3}2\cos x-\dfrac12\sin x\right)=2\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)\).

✅ \(A(x)=8\cos x\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)\).

4) a) Résoudre dans \(\left[-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right]\) : \(A(x)=0\). b) Résoudre \(A(x)>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : a) \(\cos x=0\Rightarrow x=\pm\dfrac\pi2\) ; \(\cos\left(x+\dfrac\pi6\right)=0\Rightarrow x+\dfrac\pi6=\dfrac\pi2\) donc \(x=\dfrac\pi3\) (l’autre solution \(-\dfrac{2\pi}3\) est hors intervalle).

🔢 Étape 2 : b) Sur \(\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[\), \(\cos x>0\) ; \(x+\dfrac\pi6\in\left]-\dfrac\pi3;\dfrac{2\pi}3\right[\) et \(\cos>0\iff x+\dfrac\pi6<\dfrac\pi2\iff x<\dfrac\pi3\).

✅ a) \(S=\left\{-\dfrac\pi2;\dfrac\pi3;\dfrac\pi2\right\}\) ; b) \(S=\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi3\right[\).

Exercice 11

Équation trigonométrique et linéarisation

1) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \((E)\) : \(\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right)=-\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-\dfrac12=\cos\dfrac{2\pi}3\) donc \(2x+\dfrac\pi3=\pm\dfrac{2\pi}3+2k\pi\).

🔢 Étape 2 : \(2x=\dfrac\pi3+2k\pi\) ou \(2x=-\pi+2k\pi\).

✅ \(S=\left\{\dfrac\pi6+k\pi\right\}\cup\left\{-\dfrac\pi2+k\pi\right\}\), \(k\in\mathbb Z\).

2) \(A(x)=5\cos^2x-2\sqrt3\sin x\cos x+3\sin^2x\). a) Calculer \(A\left(\dfrac\pi4\right)\) et \(A\left(\dfrac\pi6\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A\left(\dfrac\pi4\right)=\dfrac52-\sqrt3+\dfrac32=4-\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(A\left(\dfrac\pi6\right)=\dfrac{15}4-2\sqrt3\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac34=\dfrac{18}4-\dfrac32=3\).

✅ \(A\left(\dfrac\pi4\right)=4-\sqrt3\) ; \(A\left(\dfrac\pi6\right)=3\).

3) b) Montrer que \(A(x)=\cos2x-\sqrt3\sin2x+4\).

Correction détaillée

🔢 \(5\cos^2x+3\sin^2x=3+2\cos^2x=4+\cos2x\) ; \(-2\sqrt3\sin x\cos x=-\sqrt3\sin2x\).

✅ \(A(x)=\cos2x-\sqrt3\sin2x+4\).

4) c) Montrer que \(A(x)=2\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right)+4\).

Correction détaillée

🔢 \(\cos2x-\sqrt3\sin2x=2\left(\dfrac12\cos2x-\dfrac{\sqrt3}2\sin2x\right)=2\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right)\).

✅ \(A(x)=2\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right)+4\).

5) Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’équation \(A(x)=3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A(x)=3\iff\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right)=-\dfrac12\) : c’est \((E)\).

🔢 Étape 2 : Solutions \(\dfrac\pi6+k\pi\) : \(\dfrac\pi6,\ -\dfrac{5\pi}6\) ; solutions \(-\dfrac\pi2+k\pi\) : \(-\dfrac\pi2,\ \dfrac\pi2\).

✅ \(S=\left\{-\dfrac{5\pi}6;-\dfrac\pi2;\dfrac\pi6;\dfrac\pi2\right\}\).