La Droite dans le Plan · Cours Tronc Commun

Ce cours sur la droite dans le plan pour le Tronc Commun traite de l’équation de droite, du vecteur directeur et des positions relatives, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours sur la droite dans le plan Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Repère et Coordonnées

Définition Soient \(O, I, J\) trois points non alignés. Le triplet \((O; I; J)\) détermine un repère dans le plan.
  • \(O\) est l’origine du repère.
  • \((OI)\) est l’axe des abscisses.
  • \((OJ)\) est l’axe des ordonnées.

Si \((OI) \perp (OJ)\), le repère est orthogonal. Si de plus \(OI = OJ = 1\), il est orthonormé.

Coordonnées d’un point et d’un vecteur
  • Un point \(M\) a pour coordonnées \((x ; y)\) si \(\overrightarrow{OM} = x\overrightarrow{OI} + y\overrightarrow{OJ}\).
  • Un vecteur \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((x ; y)\) si \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\).
Propriétés de calcul Soient \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) deux points, et \(\vec{u}(x; y)\), \(\vec{v}(x’; y’)\) deux vecteurs.
  • Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((x_B – x_A ; y_B – y_A)\)
  • Distance : \(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
  • Milieu \(I\) : \(\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)\)
  • Somme : \(\vec{u} + \vec{v} = (x + x’ ; y + y’)\)
  • Multiplication par un réel \(k\) : \(k\vec{u} = (kx ; ky)\)

2Colinéarité (Déterminant)

Définition · Déterminant Soient \(\vec{u}(x; y)\) et \(\vec{v}(x’; y’)\) deux vecteurs. Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le réel :
\[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x’ \\ y & y’ \end{vmatrix} = x y’ – x’ y \]
Condition de colinéarité Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
\[ \vec{u} \parallel \vec{v} \iff \det(\vec{u}; \vec{v}) = 0 \]
Attention · Alignement Trois points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires (déterminant nul).
Exemple Soient \(\vec{u}(-2 ; 3)\) et \(\vec{v}(4 ; 5)\).
\[ \det(\vec{u}; \vec{v}) = (-2)(5) – (4)(3) = -10 – 12 = -22 \neq 0 \]

Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.

3La Droite dans le Plan

Vecteur directeur Un vecteur directeur d’une droite \((D)\) est un vecteur non nul \(\vec{u}\) qui possède la même direction que la droite \((D)\).
Représentation paramétrique Soit \(A(x_A; y_A)\) un point de \((D)\) et \(\vec{u}(a; b)\) un vecteur directeur de \((D)\). L’ensemble des points \(M(x; y)\) de \((D)\) vérifient :
\[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R} \]
Équation cartésienne Toute droite \((D)\) admet une équation cartésienne de la forme :
\[ ax + by + c = 0 \]

Avec \(a \neq 0\) ou \(b \neq 0\). Un vecteur directeur de cette droite est \(\vec{u}(-b ; a)\).

Équation réduite Si la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées (\(b \neq 0\)), son équation peut s’écrire sous la forme :
\[ y = mx + p \]

\(m\) est le coefficient directeur et \(p\) est l’ordonnée à l’origine. Un vecteur directeur est alors \(\vec{u}(1 ; m)\).

Exemple · Trouver une équation cartésienne Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(1 ; -1)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(-1 ; 3)\).
  1. Le déterminant \(\det(\overrightarrow{AM}; \vec{u}) = 0\) avec \(M(x; y)\) donne : \((x – 1)(3) – (y + 1)(-1) = 0\)
  2. \(3x – 3 + y + 1 = 0\)
  3. Donc l’équation est \(3x + y – 2 = 0\).

4Positions Relatives de Deux Droites

Droites parallèles Deux droites \((D) : ax + by + c = 0\) et \((D’) : a’x + b’y + c’ = 0\) sont parallèles si et seulement si :
\[ a b’ – a’ b = 0 \]

Avec les équations réduites \(y = mx + p\) et \(y = m’x + p’\), elles sont parallèles si et seulement si \(m = m’\).

Droites sécantes Deux droites sont sécantes si leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires. Leur point d’intersection est trouvé en résolvant le système formé par leurs deux équations.
Exemple · Position relative \((D) : 2x – 4y + 3 = 0\) et \((D’) : -x + 2y + 5 = 0\).
  1. Vecteurs directeurs : \(\vec{u}(4; 2)\) pour \((D)\) et \(\vec{v}(-2; -1)\) pour \((D’)\).
  2. \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 4(-1) – (-2)(2) = -4 + 4 = 0\).
  3. Les droites sont parallèles. On vérifie si elles sont confondues en testant un point de \((D)\) dans \((D’)\).
  4. Point de \((D)\) : \(x=0 \implies -4y+3=0 \implies y = 3/4\).
  5. On teste dans \((D’)\) : \(-0 + 2(3/4) + 5 = 6.5 \neq 0\). Donc \(A \notin (D’)\).
  6. Les droites sont strictement parallèles.

5Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Coordonnées et Distance

Soient \(A(1; 2)\) et \(B(-5; 4)\). Calculer les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) et la distance \(AB\).

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Milieu \(I\) : \(I\left(\frac{1 + (-5)}{2} ; \frac{2 + 4}{2}\right) = I(-2 ; 3)\).

Distance \(AB\) : \(AB = \sqrt{(-5 – 1)^2 + (4 – 2)^2} = \sqrt{(-6)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\).

★★ Exercice 2 · Déterminant

Les vecteurs \(\vec{u}(1; 2)\) et \(\vec{v}(-3; 1)\) sont-ils colinéaires ?

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On calcule le déterminant :

\(\det(\vec{u}; \vec{v}) = (1)(1) – (-3)(2) = 1 + 6 = 7\).

Comme \(7 \neq 0\), les vecteurs ne sont pas colinéaires.

★★ Exercice 3 · Équation de droite

Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A(5; 13)\) et \(B(10; 23)\).

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Le vecteur \(\overrightarrow{AB} = (10 – 5 ; 23 – 13) = (5 ; 10)\) est un vecteur directeur.

En divisant par 5, on obtient le vecteur \(\vec{u}(1 ; 2)\).

L’équation est de la forme \(-2x + y + c = 0\) (car \(a = -2\), \(b = 1\)).

On utilise \(A(5; 13)\) : \(-2(5) + 13 + c = 0 \implies -10 + 13 + c = 0 \implies c = -3\).

L’équation est donc \(-2x + y – 3 = 0\).

★★★ Exercice 4 · Paramètre \(m\)

Soit \(m\) un réel. Discuter la colinéarité des vecteurs \(\vec{u}(3; 2m+1)\) et \(\vec{v}(2; m)\) selon les valeurs de \(m\).

Voir la solution

On calcule le déterminant :

\(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 3(m) – 2(2m+1) = 3m – 4m – 2 = -m – 2\).

– Si \(m = -2\), alors \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 0\), les vecteurs sont colinéaires.

– Si \(m \neq -2\), alors \(\det(\vec{u}; \vec{v}) \neq 0\), les vecteurs ne sont pas colinéaires.

★★★ Exercice 5 · Positions relatives

Étudier la position relative des droites \((D) : 2x + 5y – 2 = 0\) et \((D’) : x + 3y – 2 = 0\).

Voir la solution

Vecteurs directeurs : \(\vec{u}(-5 ; 2)\) pour \((D)\) et \(\vec{v}(-3 ; 1)\) pour \((D’)\).

\(\det(\vec{u}; \vec{v}) = (-5)(1) – (-3)(2) = -5 + 6 = 1 \neq 0\). Les droites sont sécantes.

Pour trouver le point d’intersection, on résout le système :

\(\begin{cases} 2x + 5y = 2 \\ x + 3y = 2 \end{cases}\)

Par substitution, \(x = 2 – 3y\). Donc \(2(2 – 3y) + 5y = 2 \implies 4 – 6y + 5y = 2 \implies y = 2\).

Ensuite \(x = 2 – 3(2) = 2 – 6 = -4\).

Le point d’intersection est \(E(-4 ; 2)\).

★Fiche résumé à retenir

  • Distance : \(AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\).
  • Déterminant : \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = x y’ – x’ y\).
  • Colinéarité : \(\det(\vec{u}; \vec{v}) = 0\).
  • Équation cartésienne : \(ax + by + c = 0\) avec vecteur directeur \(\vec{u}(-b; a)\).
  • Parallélisme : \((D) \parallel (D’) \iff a b’ – a’ b = 0\) (ou \(m = m’\)).
C’est en forgeant que l’on devient forgeron !
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