La projection dans le plan Tronc Commun : cours

Ce cours sur la projection dans le plan pour le Tronc Commun explique la projection sur une droite, le théorème de Thalès et leurs propriétés, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours sur la projection dans le plan Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1La projection sur une droite

Définition Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en un point \(A\), et soit \(M\) un point du plan. La droite qui passe par \(M\) et parallèle à \((\Delta)\) coupe \((D)\) en un point \(M’\).
Le point \(M’\) s’appelle la projection du point \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).

\[ P_{(D; \Delta)}(M) = M’ \]

La droite \((\Delta)\) s’appelle la direction de la projection.

Propriétés

Chaque point de \((D)\) est confondu avec sa projection (il est invariant).
La droite \((D)\) est dite invariante par la projection.

Cas particulier · Projection orthogonale Si les droites \((D)\) et \((\Delta)\) sont perpendiculaires, on dit que \(M’\) est la projection orthogonale de \(M\) sur \((D)\).

★★ Exercice 1 · Application directe

Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) le milieu de \([AB]\).

1) Soit \(P_1\) la projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\). Déterminer \(P_1(A)\), \(P_1(C)\), \(P_1(B)\) et \(P_1(M)\).

2) Soit \(P_2\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Déterminer \(P_2(A)\), \(P_2(C)\), \(P_2(B)\) et \(P_2(M)\).

Voir la solution

1) Pour \(P_1\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\) :

– \(A \in (AC)\) et \((AC) \cap (BC) = \{C\}\), donc \(P_1(A) = C\).

– \(B \in (BC)\), donc \(P_1(B) = B\) (invariant).

– \(C \in (BC)\), donc \(P_1(C) = C\) (invariant).

– \(M\) est le milieu de \([AB]\). La parallèle à \((AC)\) passant par \(M\) coupe \([BC]\) en son milieu. Donc \(P_1(M)\) est le milieu de \([BC]\).

2) Pour \(P_2\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) :

– \(A \in (AC)\), donc \(P_2(A) = A\).

– \(C \in (AC)\), donc \(P_2(C) = C\).

– \(B \in (BC)\) et \((AC) \cap (BC) = \{C\}\), donc \(P_2(B) = C\).

– \(M\) est le milieu de \([AB]\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \([AC]\) en son milieu. Donc \(P_2(M)\) est le milieu de \([AC]\).

2Projection d’un segment et de son milieu

Propriétés Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan, et \(A’\) et \(B’\) leurs projections respectives sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).

L’image du segment \([AB]\) est le segment \([A’B’]\).
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors \(P(I) = I’\) est le milieu de \([A’B’]\).

On dit que la projection conserve les milieux.

3Théorème de Thalès et sa réciproque

Théorème de Thalès Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en un point, et \(A, B, C\) trois points alignés tels que \((AB)\) et \((\Delta)\) ne soient pas parallèles. Soient \(A’, B’, C’\) les projetés respectifs de \(A, B, C\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). Alors :

\[ \frac{AB}{AC} = \frac{A’B’}{A’C’} \]

Théorème de Thalès (avec les vecteurs) Avec les mêmes notations, si \(\overline{AB} = k \overline{AC}\) avec \(k \in \mathbb{R}\), alors :

\[ \overline{A’B’} = k \overline{A’C’} \]

On dit que la projection conserve le coefficient d’alignement de trois points.

Théorème réciproque de Thalès Soient \((D)\) et \((D’)\) deux droites non parallèles, et une troisième droite \((\Delta)\). \(A\) et \(B\) sont deux points de \((D)\), et \(A’, B’\) leurs projetés sur \((D’)\) parallèlement à \((\Delta)\).
Si un point \(C\) de \((D)\) et un point \(C’\) de \((D’)\) vérifient \(\frac{AB}{AC} = \frac{A’B’}{A’C’}\) et sont dans le même ordre, alors \(C’\) est la projection de \(C\) sur \((D’)\) parallèlement à \((\Delta)\). On a alors \((AA’) \parallel (BB’) \parallel (CC’)\).

4Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★★ Exercice 2 · Thalès et Vecteurs

Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) un point défini par \(\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\). Soit \(M’\) le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Montrer que \(\overrightarrow{AM’} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(\overrightarrow{MM’} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).

Voir la solution

Soit \(P\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).

On a \(P(A) = A\), \(P(C) = C\), et \(P(B) = C\).

Puisque \(\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et que la projection conserve le coefficient d’alignement, on a :

\(\overrightarrow{AM’} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\).

Ensuite : \(\overrightarrow{MM’} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AM’} = -\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{3}(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\).

★★★ Exercice 3 · Réciproque de Thalès

Soit \(ABC\) un triangle et \(I, I’\) deux points tels que \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AI’} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\).

1) Montrer que \(I’\) est la projection de \(I\) sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).

2) Soit \(M\) le milieu de \([BC]\). La droite \((AM)\) coupe \((II’)\) en \(G\). Montrer que \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).

Voir la solution

1) On a \(\frac{AI}{AC} = \frac{2}{3}\) et \(\frac{AI’}{AB} = \frac{2}{3}\).

Donc \(\frac{AI}{AC} = \frac{AI’}{AB}\). D’après la réciproque de Thalès, \((II’) \parallel (BC)\).

Donc \(I’\) est bien la projection de \(I\) sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).

2) Considérons \(P\) la projection sur \((AM)\) parallèlement à \((BC)\).

\(P(A) = A\), \(P(C) = M\), et \(P(I) = G\) (car la parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \((AM)\) en \(G\)).

Puisque \(\overrightarrow{AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\), la projection conserve le coefficient, donc \(\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).

★★★ Exercice 4 · Projection et milieu

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AC]\). \(E\) un point de \((AC)\) tel que \(\overrightarrow{IE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{IC}\). Soit \(F\) le projeté de \(E\) sur \((AB)\) parallèlement à \((IB)\). Montrer que \(\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).

Voir la solution

On a \(\overrightarrow{IE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{IC}\).

Comme \(I\) est le milieu de \([AC]\), \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC}\). Donc \(\overrightarrow{IE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AI}\).

Considérons la projection sur \((AB)\) parallèlement à \((IB)\). On a \(P(E) = F\), \(P(I) = B\), et \(P(A) = A\).

Puisque la projection conserve le coefficient d’alignement et que \(\overrightarrow{IE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{IA}\), on obtient : \(\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\), soit \(\overrightarrow{BF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\).

★★★ Exercice 5 · Double projection

Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AC]\). \(E\) un point tel que \(\overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{BE}\). La droite passant par \(E\) et parallèle à \((IB)\) coupe \((AC)\) en \(J\).

1) Montrer que \(\overrightarrow{IC} = 4\overrightarrow{IJ}\).

2) Si \((IB) \cap (AE) = \{K\}\), montrer que \(\overrightarrow{AE} = 5\overrightarrow{KE}\).

Voir la solution

1) Soit \(P\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((IB)\).

\(P(B) = I\), \(P(E) = J\), \(P(C) = C\).

Puisque \(\overrightarrow{BC} = 4\overrightarrow{BE}\), la projection conserve le coefficient : \(\overrightarrow{IC} = 4\overrightarrow{IJ}\).

2) On a \(\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IJ}\). Comme \(I\) est le milieu de \([AC]\), \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC} = 4\overrightarrow{IJ}\).

Donc \(\overrightarrow{AJ} = 4\overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{IJ} = 5\overrightarrow{IJ}\).

Soit maintenant \(P’\) la projection sur \((AE)\) parallèlement à \((IB)\).

\(P'(A) = A\), \(P'(I) = K\), \(P'(J) = E\).

Puisque \(\overrightarrow{AJ} = 5\overrightarrow{IJ}\), en appliquant la projection \(P’\), on obtient \(\overrightarrow{AE} = 5\overrightarrow{KE}\).

★Fiche résumé à retenir

Projection : \(M’\) est l’intersection de \((D)\) et de la parallèle à \((\Delta)\) passant par \(M\).
Invariance : Les points de \((D)\) sont invariants.
Milieu : La projection conserve les milieux (l’image du milieu est le milieu des images).
Thalès (vecteurs) : Si \(\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}\), alors \(\overrightarrow{A’B’} = k\overrightarrow{A’C’}\).

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