Produit scalaire dans l’espace 2ème Bac PC : cours

Ce cours sur le produit scalaire dans l’espace pour la 2ème Bac PC et SVT explique la définition, l’expression analytique, l’orthogonalité, les plans et les sphères, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.

Cours de produit scalaire dans l’espace

DéfinitionÀ connaître par cœur.

Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Le produit scalaire de deux vecteurs

L’idée Dans le plan, tu connais déjà le produit scalaire. Dans l’espace, c’est exactement la même chose : deux vecteurs ont toujours un plan qui les contient, et on calcule le produit scalaire dans ce plan. Le résultat est un nombre réel, pas un vecteur.

Définition Soient u et v deux vecteurs de l’espace, A, B, C trois points tels que u = AB et v = AC. Le produit scalaire u · v est le produit scalaire de AB et AC dans le plan (ABC).

Si u = 0 ou v = 0, alors u · v = 0.
Sinon : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v).
Avec le projeté orthogonal H de C sur (AB) : AB · AC = AH × AB si AB et AH ont le même sens, et = −AH × AB s’ils ont des sens contraires.

Vecteurs orthogonaux Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si u · v = 0. On écrit u ⊥ v. (Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.)

Exemple · Dans un cube ABCDEFGH d’arête a

AF · GC. Dans le cube, GC = EA. Le projeté orthogonal de F sur (AE) est E, donc AF · AE = AE × AE = a², et AF · EA = −a².

AF · CD. Comme ABCD est un carré, CD = BA. Le projeté de F sur (AB) est B, donc AF · BA = −AB × AB = −a².

DH · DC = 0 car (DH) ⊥ (DC) (DCGH est un carré).

AE · DB = 0 car (AE) est perpendiculaire au plan (ABC), donc à toute droite de ce plan, comme (DB).

2Produit scalaire et norme, propriétés

Norme d’un vecteur Si u = AB, la norme de u est la distance AB. On a

‖u‖ = √(u · u) et u · u = ‖u‖² = AB²

Propriétés (u, v, w vecteurs, k réel)

u · v = v · u
u · (k v) = k (u · v)
u · (v + w) = u · v + u · w
‖u + v‖² = ‖u‖² + 2 u · v + ‖v‖²
‖u − v‖² = ‖u‖² − 2 u · v + ‖v‖²
(u + v) · (u − v) = ‖u‖² − ‖v‖²
‖u‖ = 0 ⇔ u = 0 ; ‖k u‖ = |k| ‖u‖
u · v = 12 (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)
|u · v| ≤ ‖u‖ × ‖v‖ ; ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖ (inégalité triangulaire)

Pour trois points A, B, C

AB · AC = 12 (AB² + AC² − BC²)

Exemple 1 · Calcul avec les propriétés Soient A, B, C tels que AB = √5 et AB · AC = 3. Calculer (−2AB) · BC.
On écrit BC = BA + AC. Alors
(−2AB) · BC = −2AB · BA − 2AB · AC = 2AB² − 2 × 3 = 2 × 5 − 6 = 4.

Exemple 2 · Avec les normes Sachant que ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 et ‖u + v‖ = 5, calculer u · v.
u · v = 12(‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²) = 12(25 − 4 − 9) = 6.

3Repère orthonormé et expression analytique

Base et repère orthonormés Un triplet (i, j, k) de vecteurs de l’espace est une base orthonormée si :

les vecteurs sont non coplanaires ;
ils sont normés (unitaires) : ‖i‖ = ‖j‖ = ‖k‖ = 1 ;
ils sont orthogonaux deux à deux : i · j = 0, j · k = 0, i · k = 0.

Si O est un point, (O ; i, j, k) est un repère orthonormé. Tout vecteur u s’écrit de façon unique u = x i + y j + z k : le triplet (x, y, z) est formé par les coordonnées de u.

Expression analytique (dans un repère orthonormé)

Si u(x, y, z) et v(x′, y′, z′), alors

u · v = x x′ + y y′ + z z′ ‖u‖ = √(x² + y² + z²)

Si A(x_A, y_A, z_A) et B(x_B, y_B, z_B) :

AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²)

Et l’angle : cos(u, v) = u · v‖u‖ × ‖v‖.

Pourquoi cette formule ? On développe (x i + y j + z k) · (x′ i + y′ j + z′ k). Tous les produits croisés (i · j, j · k, i · k) valent 0, et i · i = j · j = k · k = 1. Il reste x x′ + y y′ + z z′.

Exemple 1 · Orthogonalité et norme u(1 ; 5 ; −1), v(−5 ; 1 ; 0) et w(12 ; 0 ; −√32).
u · v = 1 × (−5) + 5 × 1 + (−1) × 0 = −5 + 5 = 0, donc u ⊥ v.
‖w‖ = √(14 + 0 + 34) = √1 = 1 : w est un vecteur unitaire.

Exemple 2 · Angle entre deux vecteurs u(3 ; −2 ; 1) et v(2 ; 1 ; 0). u · v = 6 − 2 + 0 = 4 ; ‖u‖ = √(9 + 4 + 1) = √14 ; ‖v‖ = √5.
cos(u, v) = 4√14 × √5 = 4√70 (environ 0,48, soit un angle d’environ 61°).

Exemple 3 · Distance A(1 ; 2 ; 0), B(2 ; 4 ; 2). AB = √(1² + 2² + 2²) = √9 = 3.

4Plan, vecteur normal et équation cartésienne

Vecteur normal à un plan Un vecteur non nul n est normal au plan (P) si, pour tous points A et M de (P), on a n · AM = 0. Un plan a une infinité de vecteurs normaux (tous colinéaires).

Le vecteur n est perpendiculaire à tout vecteur AM du plan (P).

Propriété (critère) Un vecteur n est normal à un plan si et seulement s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Équation cartésienne d’un plan

Tout plan admet une équation de la forme ax + by + cz + d = 0, où (a, b, c) ≠ (0, 0, 0). Le vecteur n(a ; b ; c) est normal à ce plan.
Réciproquement, l’ensemble des points M(x, y, z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal n(a ; b ; c).
L’ensemble des points M tels que u · AM = k (u non nul) est un plan d’équation ax + by + cz + d = 0 avec u(a ; b ; c).

Méthode : équation du plan passant par A(x_A, y_A, z_A) de vecteur normal n(a ; b ; c)

Écris l’équation sous la forme ax + by + cz + d = 0 (a, b, c sont les coordonnées de n).
Remplace x, y, z par les coordonnées de A : tu obtiens une équation en d.
Résous pour d et écris l’équation finale.

Exemple 1 · Plan par A(4 ; 2 ; −3) de vecteur normal n(1 ; −2 ; −1) Équation : x − 2y − z + d = 0. Avec A : 4 − 4 + 3 + d = 0, soit 3 + d = 0, donc d = −3.
(P) : x − 2y − z − 3 = 0.

Exemple 2 · Lire un vecteur normal (P) : 2x − 3y + z + 10 = 0 : n(2 ; −3 ; 1). (P) : 3x − z + 1 = 0 : n(3 ; 0 ; −1). (P) : z = 2 : n(0 ; 0 ; 1). (P) : y + z + 1 = 0 : n(0 ; 1 ; 1).

Exemple 3 · L’ensemble des points M tels que u · AM = −1 u(2 ; 1 ; −1), A(1 ; −1 ; 2), M(x ; y ; z). AM(x − 1 ; y + 1 ; z − 2).
u · AM = 2(x − 1) + (y + 1) − (z − 2) = 2x + y − z + 1. On veut = −1, donc 2x + y − z + 2 = 0 : c’est un plan.

Exemple 4 · Trouver un vecteur normal à partir de deux vecteurs Plan dirigé par u(2 ; −1 ; 3) et v(4 ; 0 ; 2). On cherche n(x ; y ; z) avec n · u = 0 et n · v = 0 :
2x − y + 3z = 0 et 4x + 2z = 0. La 2^e donne z = −2x. La 1^re : 2x − y − 6x = 0, soit y = −4x.
On choisit x = 1 : n(1 ; −4 ; −2). Vérification : n · u = 2 + 4 − 6 = 0 ✓ et n · v = 4 + 0 − 4 = 0 ✓.

Exemple 5 · Plan passant par trois points Cube ABCDEFGH d’arête 1, repère (A ; AB, AD, AE). I est le milieu de [AE], donc I(0 ; 0 ; 12). On veut une équation du plan (CHI) avec C(1 ; 1 ; 0) et H(0 ; 1 ; 1).
CH(−1 ; 0 ; 1) et CI(−1 ; −1 ; 12). Soit n(x ; y ; z) normal :
−x + z = 0 et −x − y + z2 = 0. Donc z = x, puis y = −x2. Avec x = 2 : n(2 ; −1 ; 2).
Équation : 2x − y + 2z + d = 0. Avec C : 2 − 1 + 0 + d = 0, donc d = −1. (CHI) : 2x − y + 2z − 1 = 0. Vérification avec H : 0 − 1 + 2 − 1 = 0 ✓.

Vérifier qu’un point appartient à un plan Remplace x, y, z par ses coordonnées dans l’équation. Si on obtient 0, le point est dans le plan. Exemple : A(2 ; −1 ; −3) et 4x − 2y + 3z − 1 = 0 : 8 + 2 − 9 − 1 = 0 ✓.

5Positions relatives de deux plans, droites et distance à un plan

Positions relatives de deux plans Soient (P) : ax + by + cz + d = 0 et (P′) : a′x + b′y + c′z + d′ = 0, de vecteurs normaux n(a ; b ; c) et n′(a′ ; b′ ; c′).

(P) // (P′) ⇔ n et n′ sont colinéaires.
(P) et (P′) sont sécants ⇔ n et n′ ne sont pas colinéaires.
(P) ⊥ (P′) ⇔ n · n′ = 0.

Exemple · (P) : 2x − 4y + z + 1 = 0 et (P′) : x + y + 2z − 3 = 0

1) Perpendiculaires ? n(2 ; −4 ; 1) et n′(1 ; 1 ; 2). n · n′ = 2 − 4 + 2 = 0. Donc (P) ⊥ (P′).

2) Plan (Q) parallèle à (P) passant par A(1 ; −1 ; 1). (Q) a le même vecteur normal : 2x − 4y + z + d = 0. Avec A : 2 + 4 + 1 + d = 0, donc d = −7. (Q) : 2x − 4y + z − 7 = 0.

Représentation paramétrique d’une droite La droite (D) passant par A(x_A, y_A, z_A) et de vecteur directeur u(a ; b ; c) est l’ensemble des points M(x, y, z) tels que

x = x_A + a t y = y_A + b t z = z_A + c t (t ∈ ℝ)

Une droite perpendiculaire à un plan a pour vecteur directeur un vecteur normal à ce plan.

Distance d’un point à un plan Soit A(x_A, y_A, z_A) un point et (P) : ax + by + cz + d = 0 un plan. La distance de A à (P) est la distance AH, où H est le projeté orthogonal de A sur (P), et

d(A ; (P)) = ∣a x_A + b y_A + c z_A + d∣√(a² + b² + c²)

(Le numérateur est la valeur absolue du résultat obtenu en remplaçant x, y, z par les coordonnées de A dans l’équation ; le dénominateur est la norme du vecteur normal.)

Exemple 1 · Distance (P) : x + 2y + 2z − 6 = 0 et A(5 ; 1 ; 0). d(A ; (P)) = ∣5 + 2 + 0 − 6∣√(1 + 4 + 4) = 13.

Exemple 2 · Projeté orthogonal d’un point sur un plan (P) : x + 2y + z − 1 = 0 (vecteur normal n(1 ; 2 ; 1)) et B(3 ; 1 ; 0). On cherche B′, projeté orthogonal de B sur (P).

La droite (D) passant par B et perpendiculaire à (P) a pour vecteur directeur n : x = 3 + t, y = 1 + 2t, z = t.
B′ est l’intersection de (D) et (P). On remplace dans l’équation du plan : (3 + t) + 2(1 + 2t) + t − 1 = 0, soit 6t + 4 = 0, donc t = −23.
On calcule les coordonnées : x = 3 − 23 = 73, y = 1 − 43 = −13, z = −23. B′(73 ; −13 ; −23).

Vérification : 73 − 23 − 23 − 1 = 1 − 1 = 0 ✓.

Exemple 3 · A est-il le projeté de B sur (P) ? (P) : x + 2y − z − 1 = 0, A(1 ; 1 ; 2), B(2 ; 1 ; 1).
A ∈ (P) car 1 + 2 − 2 − 1 = 0 ✓. Pour que A soit le projeté de B, il faut AB colinéaire au vecteur normal n(1 ; 2 ; −1). Or AB(1 ; 0 ; −1) n’est pas colinéaire à n (la 2^e coordonnée est 0 pour l’un et 2 pour l’autre). Non, A n’est pas le projeté de B.
(On a d(B ; (P)) = ∣2 + 2 − 1 − 1∣√6 = 2√6 = √63, alors que AB = √2.)

6La sphère

Définition Soit Ω un point de l’espace et R un réel positif. La sphère de centre Ω et de rayon R, notée S(Ω, R), est l’ensemble des points M tels que ΩM = R.

Équation cartésienne Si Ω(a, b, c), la sphère S(Ω, R) a pour équation

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

En développant, on obtient une équation de la forme x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0.

Exemple 1 · Sphère de centre Ω(1 ; −1 ; 2) et de rayon 3 (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 9. En développant : x² − 2x + 1 + y² + 2y + 1 + z² − 4z + 4 = 9, soit x² + y² + z² − 2x + 2y − 4z − 3 = 0.

Exemple 2 · Sphère de centre Ω(0 ; −3 ; 0) passant par A(2 ; 1 ; −1) Le rayon est R = ΩA = √(2² + 4² + (−1)²) = √21. Équation : x² + (y + 3)² + z² = 21, soit x² + y² + z² + 6y − 12 = 0.

Sphère de diamètre [AB] L’ensemble des points M tels que MA · MB = 0 est la sphère de diamètre [AB] (son centre est le milieu de [AB] et son rayon est AB2). Son équation est

(x − x_A)(x − x_B) + (y − y_A)(y − y_B) + (z − z_A)(z − z_B) = 0

C’est l’équivalent, dans l’espace, du cercle de diamètre [AB] : M est sur la sphère ⇔ l’angle AMB est droit.

Exemple · Sphère de diamètre [AB] avec A(1 ; 0 ; −1) et B(1 ; 2 ; −1)

Méthode 1. Centre : le milieu Ω(1 ; 1 ; −1). Rayon : AB2 = 22 = 1. Équation : (x − 1)² + (y − 1)² + (z + 1)² = 1, soit x² + y² + z² − 2x − 2y + 2z + 2 = 0.

Méthode 2. (x − 1)(x − 1) + (y − 0)(y − 2) + (z + 1)(z + 1) = 0 ⇔ x² − 2x + 1 + y² − 2y + z² + 2z + 1 = 0 ⇔ x² + y² + z² − 2x − 2y + 2z + 2 = 0 ✓.

L’ensemble x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 On complète les carrés : (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = a² + b² + c² − d. Soit (S) cet ensemble :

si a² + b² + c² − d > 0 : (S) est la sphère de centre Ω(a, b, c) et de rayon R = √(a² + b² + c² − d) ;
si a² + b² + c² − d = 0 : (S) est réduit au point Ω ;
si a² + b² + c² − d < 0 : (S) est vide.

Exemple · Reconnaître l’ensemble

(S₁) : x² + y² + z² − 2x − 6y − 4z = 0. Ici a = 1, b = 3, c = 2, d = 0. a² + b² + c² − d = 1 + 9 + 4 = 14 > 0 : sphère de centre (1 ; 3 ; 2) et de rayon √14.

(S₂) : x² + y² + z² − 6x + 4y + 6z + 22 = 0. On complète : (x − 3)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 9 + 4 + 9 − 22 = 0. (S₂) est réduit au point (3 ; −2 ; −3).

(S₃) : x² + y² + z² − 2x + 3y + z + 7 = 0. (x − 1)² + (y + 32)² + (z + 12)² = 1 + 94 + 14 − 7 = −72 < 0 : (S₃) est vide.

Le rayon est la racine carrée Dans (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = 9, le rayon est 3 (pas 9). Si tu trouves R² = 14, alors R = √14.

7Intersection d’une sphère et d’une droite

Méthode par calcul

Écris la représentation paramétrique de la droite : x = …, y = …, z = … (en fonction de t).
Remplace x, y, z dans l’équation de la sphère. Tu obtiens une équation du second degré en t.
Selon Δ : Δ > 0 : 2 points (droite sécante) ; Δ = 0 : 1 point (droite tangente) ; Δ < 0 : aucun point.
Remplace les valeurs de t trouvées dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées des points.

Méthode par la distance (R rayon de la sphère, H projeté orthogonal du centre Ω sur la droite (D), d = ΩH)

d > R : aucun point commun.
d = R : un seul point commun, la droite est tangente à la sphère en H.
d < R : deux points communs, la droite est sécante.

Exemple 1 · Deux points (S) : (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 2)² = 9 et (D) : x = 1 − t, y = 1 + t, z = 1 + t.
On remplace : (−t)² + t² + (t − 1)² = 9 ⇔ 3t² − 2t + 1 = 9 ⇔ 3t² − 2t − 8 = 0. Δ = 4 + 96 = 100, donc t = 2 ou t = −43.
Pour t = 2 : A(−1 ; 3 ; 3). Pour t = −43 : B(73 ; −13 ; −13). La droite coupe la sphère en deux points.

Exemple 2 · Tangente (S) : x² + y² + z² − 2x − 4y + 2z = 0 et (D) : x = 2 + 3t, y = 4 + t, z = −2 + 5t.
Après calcul de x² + y² + z² − 2x − 4y + 2z, les termes en t s’annulent et il reste 35t² = 0, donc t = 0 : un seul point A(2 ; 4 ; −2). La droite est tangente à la sphère en A.

Exemple 3 · Aucun point (S) : x² + y² + z² + 2x − 2y − 1 = 0 et (D) : x = −1 + t, y = 1 + 2t, z = 2.
On remplace et on simplifie : 5t² + 1 = 0, qui n’a aucune solution réelle. L’intersection est vide.

Exemple 4 · Sphère et droite avec un seul point commun (S) : x² + y² + z² + 6x − 4y − 2z + 5 = 0 et (D) passant par A(0 ; 5 ; 1) de vecteur directeur u(2 ; 1 ; −2).
(D) : x = 2t, y = 5 + t, z = 1 − 2t. En remplaçant : 9t² + 18t + 9 = 0 ⇔ t² + 2t + 1 = 0 ⇔ (t + 1)² = 0, donc t = −1. Le seul point commun est T(−2 ; 4 ; 3) : (D) est tangente à (S) en T.

8Intersection d’une sphère et d’un plan

Propriété Soit (S) une sphère de centre Ω et de rayon R, (P) un plan, H le projeté orthogonal de Ω sur (P) et d = ΩH = d(Ω ; (P)).

d > R : (P) et (S) n’ont aucun point commun.
d = R : un seul point commun H : le plan est tangent à la sphère en H.
d < R : l’intersection est un cercle de centre H et de rayon r = √(R² − d²) (théorème de Pythagore).

Vue de profil : dans le triangle rectangle ΩHM, ΩM = R, ΩH = d et HM = r. Donc r² = R² − d².

Méthode

Détermine le centre Ω et le rayon R de la sphère (en complétant les carrés si besoin).
Calcule d = d(Ω ; (P)) avec la formule de distance.
Compare d et R. Si d < R, calcule r = √(R² − d²).
Le centre H du cercle est le projeté orthogonal de Ω sur (P) : intersecte la droite passant par Ω et de direction n avec le plan.

Exemple 1 · Plan tangent (S) : x² + y² + z² − 2x − 2y − 4 = 0 et (P) : 2x − y − z + 5 = 0.
(S) : (x − 1)² + (y − 1)² + z² = 6, de centre Ω(1 ; 1 ; 0) et de rayon R = √6.
d(Ω ; (P)) = ∣2 − 1 − 0 + 5∣√(4 + 1 + 1) = 6√6 = √6 = R. Le plan est tangent à la sphère.
Le point de tangence H : droite par Ω de direction n(2 ; −1 ; −1) : x = 1 + 2k, y = 1 − k, z = −k. Dans (P) : 2(1 + 2k) − (1 − k) + k + 5 = 0 ⇔ 6k + 6 = 0 ⇔ k = −1. H(−1 ; 2 ; 1).

Exemple 2 · Aucun point commun (S) : x² + y² + z² − 2x + 2z + 1 = 0 et (P) : x − y + z − 3 = 0.
(S) : (x − 1)² + y² + (z + 1)² = 1 : Ω(1 ; 0 ; −1), R = 1. d(Ω ; (P)) = ∣1 − 0 − 1 − 3∣√3 = 3√3 = √3 > 1 = R. L’intersection est vide.

Exemple 3 · Cercle d’intersection (S) : (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 9 et (P) : 2x − y + 3z − 2 = 0.
Ω(2 ; 1 ; −3), R = 3. d(Ω ; (P)) = ∣4 − 1 − 9 − 2∣√14 = 8√14 ≈ 2,14 < 3.
Rayon : r = √(9 − 6414) = √(6214) = √(317) ≈ 2,1.
Centre H : droite par Ω de direction n(2 ; −1 ; 3) : x = 2 + 2k, y = 1 − k, z = −3 + 3k. Dans (P) : 2(2 + 2k) − (1 − k) + 3(−3 + 3k) − 2 = 0 ⇔ 14k − 8 = 0 ⇔ k = 47. H(227 ; 37 ; −97).

Calculatrice sphère et plan : entre le centre et le rayon de la sphère, puis l’équation ax + by + cz + d = 0 du plan.

Ω = R =

Plan : x + y + z + = 0

d(Ω ; (P))	Position	Rayon du cercle	Centre H

Plan tangent à une sphère en un point Soit A un point de la sphère (S) de centre Ω. Il existe un unique plan tangent à (S) en A : c’est l’ensemble des points M tels que AM · AΩ = 0 (le plan passe par A et a pour vecteur normal AΩ).

Exemple · Plan tangent en A(1 ; −1 ; −1) à (S) : x² + y² + (z + 2)² = 3 Vérification : A ∈ (S) car 1 + 1 + (−1 + 2)² = 3 ✓. Ω(0 ; 0 ; −2), donc AΩ(−1 ; 1 ; −1).
AM · AΩ = −(x − 1) + (y + 1) − (z + 1) = 0 ⇔ −x + y − z + 1 = 0, soit x − y + z − 1 = 0.

9Méthodes et erreurs à éviter

Que faire dans un exercice ?

On te demande…	Tu fais…
Montrer que u ⊥ v	Calcule u · v = xx′ + yy′ + zz′ et vérifie qu’il vaut 0.
Angle ou cosinus	cos(u, v) = u · v‖u‖ × ‖v‖.
Vecteur normal à un plan	Lis (a ; b ; c) dans ax + by + cz + d = 0, ou résous n · u = 0 et n · v = 0.
Équation d’un plan (point A et normal n)	ax + by + cz + d = 0, puis remplace par A pour trouver d.
Plans parallèles / perpendiculaires	Compare les vecteurs normaux : colinéaires ? n · n′ = 0 ?
Distance d’un point à un plan	∣ax_A + by_A + cz_A + d∣√(a² + b² + c²).
Projeté orthogonal sur un plan	Droite par le point, de direction n ; intersecte avec le plan.
Équation d’une sphère	Centre et rayon : (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Ou diamètre : MA · MB = 0.
Reconnaître une sphère	Complète les carrés, regarde le signe de a² + b² + c² − d.
Sphère et droite	Remplace la paramétrisation dans l’équation, étudie Δ.
Sphère et plan	d(Ω ; P) comparée à R ; si d < R : r = √(R² − d²), centre H = projeté de Ω.

Erreurs à éviter

Oublier le « cos »u · v n’est pas ‖u‖ × ‖v‖. Il y a le facteur cos(u, v).

Oublier la valeur absolueLa distance d’un point à un plan est toujours positive : |…| au numérateur.

Se tromper de signe en lisant le centreDans (x + 1)² + (y − 2)² + z² = 4, le centre est (−1 ; 2 ; 0).

Confondre R et R²(x − a)² + … = R². Le rayon est la racine carrée du second membre.

Prendre une droite pour un planUne équation ax + by + cz + d = 0 dans l’espace est celle d’un plan. Une droite se décrit par un système ou une représentation paramétrique.

Oublier de compléter les carrésPour lire le centre et le rayon de x² + y² + z² − 2x + … = 0, il faut d’abord écrire la forme (x − a)² + …

10Exercices d’entraînement corrigés

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★ Exercice 1 · Produit scalaire, norme, angle

Repère orthonormé. A(1 ; 0 ; 1), B(2 ; 1 ; 3), C(0 ; 2 ; 2). 1) Calculer AB · AC. 2) Calculer AB, AC, BC. 3) Calculer cos(AB, AC) et en déduire la nature du triangle ABC.

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1) AB(1 ; 1 ; 2) et AC(−1 ; 2 ; 1). AB · AC = −1 + 2 + 2 = 3.

2) AB = √(1 + 1 + 4) = √6 ; AC = √(1 + 4 + 1) = √6 ; BC(−2 ; 1 ; −1), donc BC = √(4 + 1 + 1) = √6.

3) cos = 3√6 × √6 = 36 = 12, donc l’angle vaut 60°. Les trois côtés sont égaux : le triangle ABC est équilatéral.

★ Exercice 2 · Équation d’un plan par trois points

A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 2 ; 0), C(0 ; 0 ; 3). Montrer que 6x + 3y + 2z − 6 = 0 est une équation du plan (ABC). Donner un vecteur normal.

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Le plan 6x + 3y + 2z − 6 = 0 a pour vecteur normal n(6 ; 3 ; 2). On vérifie que A, B, C lui appartiennent : A : 6 − 6 = 0 ✓ ; B : 6 − 6 = 0 ✓ ; C : 6 − 6 = 0 ✓. Comme A, B, C ne sont pas alignés, ce plan est bien (ABC). n(6 ; 3 ; 2).

(Autre méthode : n · AB = 0 et n · AC = 0 avec AB(−1 ; 2 ; 0) et AC(−1 ; 0 ; 3).)

★★ Exercice 3 · Point, plan, distance

(P) : x + 2y − z − 1 = 0. 1) A(1 ; 1 ; 2) et B(2 ; 1 ; 1) appartiennent-ils à (P) ? 2) Calculer AB, d(A ; (P)), d(B ; (P)). 3) A est-il le projeté orthogonal de B sur (P) ?

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1) A : 1 + 2 − 2 − 1 = 0 : A ∈ (P). B : 2 + 2 − 1 − 1 = 2 ≠ 0 : B ∉ (P).

2) AB = √(1 + 0 + 1) = √2. d(A ; (P)) = 0 (A est dans le plan). d(B ; (P)) = 2√(1 + 4 + 1) = 2√6 = √63.

3) n(1 ; 2 ; −1) est normal à (P). AB(1 ; 0 ; −1) n’est pas colinéaire à n. Donc non, A n’est pas le projeté de B. (D’ailleurs AB = √2 ≈ 1,41 est plus grand que d(B ; (P)) ≈ 0,82.)

★★ Exercice 4 · Projeté et symétrique

(P) : 2x − y + 2z − 6 = 0 et M(1 ; 2 ; 5). 1) Calculer d(M ; (P)). 2) Déterminer le projeté orthogonal H de M sur (P). 3) En déduire le symétrique M′ de M par rapport à (P).

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1) d = ∣2 − 2 + 10 − 6∣√(4 + 1 + 4) = 43.

2) La droite par M de direction n(2 ; −1 ; 2) : x = 1 + 2k, y = 2 − k, z = 5 + 2k. Dans (P) : 2(1 + 2k) − (2 − k) + 2(5 + 2k) − 6 = 9k + 4 = 0, donc k = −49. H(19 ; 229 ; 379). (Contrôle : MH = |k| × ‖n‖ = 49 × 3 = 43 ✓.)

3) H est le milieu de [MM′], donc MM′ = 2MH, soit k = −89 dans la paramétrisation : M′(−79 ; 269 ; 299).

★★ Exercice 5 · Équations de sphères

1) Sphère de centre Ω(1 ; 2 ; −1) passant par O(0 ; 0 ; 0). 2) Sphère de diamètre [AB] avec A(−1 ; 2 ; 1), B(1 ; −1 ; 0). 3) Reconnaître x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z + 5 = 0.

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1) R² = ΩO² = 1 + 4 + 1 = 6. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 6, soit x² + y² + z² − 2x − 4y + 2z = 0.

2) MA · MB = 0 : (x + 1)(x − 1) + (y − 2)(y + 1) + (z − 1)z = 0 ⇔ x² − 1 + y² − y − 2 + z² − z = 0 ⇔ x² + y² + z² − y − z − 3 = 0. En complétant : x² + (y − 12)² + (z − 12)² = 72 : centre (0 ; 12 ; 12), rayon √(72).

3) a = 2, b = −1, c = 3, d = 5. a² + b² + c² − d = 4 + 1 + 9 − 5 = 9 > 0 : sphère de centre (2 ; −1 ; 3) et de rayon 3.

★★ Exercice 6 · Sphère et droite

1) (S) : x² + y² + z² − 4x − 2y − 1 = 0 et (D) : x = −1 + 2t, y = 2 − 2t, z = −1 + t. Étudier l’intersection. 2) (S′) : x² + y² + z² − 2x + 4y − 2z + 4 = 0 et (D′) : x = 0, y = t, z = t. Étudier l’intersection.

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1) On remplace : (−1 + 2t)² + (2 − 2t)² + (−1 + t)² − 4(−1 + 2t) − 2(2 − 2t) − 1 = 9t² − 18t + 5 = 0. Δ = 324 − 180 = 144, donc t = 18 ± 1218 : t = 13 ou t = 53. Deux points : A(−13 ; 43 ; −23) et B(73 ; −43 ; 23). La droite est sécante.

2) On remplace x = 0, y = t, z = t : 2t² + 4t − 2t + 4 = 2t² + 2t + 4 = 0, soit t² + t + 2 = 0. Δ = 1 − 8 = −7 < 0 : intersection vide.

★★★ Exercice 7 · Plans, sphère tangente, cercle

(P) : x − y + z = 0 et (Q) : 2x + 3y + z − 6 = 0. Ω(1 ; 2 ; 4). (S) est la sphère de centre Ω tangente à (P). (Δ) est la droite passant par Ω et perpendiculaire à (Q). 1) Montrer que (P) ⊥ (Q). 2) Déterminer (S) et le point de tangence. 3) Déterminer (Δ) ∩ (Q), puis montrer que (Q) coupe (S) selon un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

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1) n(1 ; −1 ; 1) et n′(2 ; 3 ; 1) : n · n′ = 2 − 3 + 1 = 0. Donc (P) ⊥ (Q).

2) R = d(Ω ; (P)) = ∣1 − 2 + 4∣√3 = √3. (S) : (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 4)² = 3. Le point de tangence H est le projeté de Ω sur (P) : droite x = 1 + t, y = 2 − t, z = 4 + t. Dans (P) : (1 + t) − (2 − t) + (4 + t) = 3 + 3t = 0, donc t = −1 : H(0 ; 3 ; 3).

3) (Δ) : direction n′(2 ; 3 ; 1) : x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 4 + t. Dans (Q) : 2(1 + 2t) + 3(2 + 3t) + (4 + t) − 6 = 14t + 6 = 0, donc t = −37. W(17 ; 57 ; 257).
d(Ω ; (Q)) = ∣2 + 6 + 4 − 6∣√14 = 6√14, donc d² = 3614 = 187 < 3 = R². Le plan (Q) coupe (S) suivant un cercle de centre W et de rayon r = √(3 − 187) = √(37) (environ 0,65).

★★★ Exercice 8 · Sphère et plan : cercle d’intersection

(S) : sphère de centre Ω(2 ; 0 ; 1) et de rayon 3. (P) : x − 2y + z + 3 = 0. 1) Donner l’équation de (S). 2) Montrer que (P) coupe (S) selon un cercle (C), calculer son rayon. 3) Déterminer le centre H de (C).

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1) (x − 2)² + y² + (z − 1)² = 9, soit x² + y² + z² − 4x − 2z − 4 = 0.

2) d(Ω ; (P)) = ∣2 − 0 + 1 + 3∣√(1 + 4 + 1) = 6√6 = √6 ≈ 2,45 < 3. Donc (P) coupe (S) selon un cercle de rayon r = √(9 − 6) = √3.

3) La droite (Δ) par Ω de direction n(1 ; −2 ; 1) : x = 2 + t, y = −2t, z = 1 + t. Dans (P) : (2 + t) − 2(−2t) + (1 + t) + 3 = 6t + 6 = 0, donc t = −1. H(1 ; 2 ; 0).

★★★ Exercice 9 · Discussion avec un paramètre

(S) est la sphère de centre Ω(1 ; 2 ; 1) et de rayon √3. Pour m réel, (P_m) : x + y − z − m = 0. Discuter, selon m, la position de (S) et (P_m). Pour quelles valeurs de m le plan coupe-t-il (S) selon un cercle ?

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d(Ω ; (P_m)) = ∣1 + 2 − 1 − m∣√3 = ∣2 − m∣√3. On compare avec R = √3, c’est-à-dire ∣2 − m∣ avec 3.

Si ∣2 − m∣ < 3, c’est-à-dire −1 < m < 5 : (P_m) coupe (S) selon un cercle, de rayon r_m = √(3 − (2 − m)²3) = √(−m² + 4m + 53).

Si m = −1 ou m = 5 : (P_m) est tangent à (S).

Si m < −1 ou m > 5 : (P_m) et (S) n’ont aucun point commun.

Les centres des cercles sont les projetés de Ω : x = m + 13, y = m + 43, z = 5 − m3 pour −1 < m < 5 : ils décrivent un segment de droite (sans ses extrémités).

★Fiche résumé à retenir

Produit scalaire : u · v = ‖u‖‖v‖cos(u, v) = xx′ + yy′ + zz′ (repère orthonormé). u ⊥ v ⇔ u · v = 0.
Norme et distance : ‖u‖ = √(x² + y² + z²) ; AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²) ; cos(u, v) = u · v‖u‖‖v‖.
Plan : ax + by + cz + d = 0, vecteur normal n(a ; b ; c). Plan par A de normal n : on trouve d en remplaçant A.
Deux plans : parallèles ⇔ normaux colinéaires ; perpendiculaires ⇔ n · n′ = 0.
Distance point-plan : d(A ; (P)) = ∣ax_A + by_A + cz_A + d∣√(a² + b² + c²).
Droite : x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct. Perpendiculaire à un plan : direction = vecteur normal.
Sphère : (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R². Diamètre [AB] : MA · MB = 0. x² + y² + z² − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 : sphère si a² + b² + c² − d > 0.
Sphère et droite : substitution dans l’équation, étudie Δ. Sphère et plan : d < R : cercle de rayon √(R² − d²) centré en H (projeté de Ω) ; d = R : tangent ; d > R : vide.
Plan tangent en A : AM · AΩ = 0.

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