Produit vectoriel 2ème Bac PC : cours et exercices corrigés

Ce cours sur le produit vectoriel pour la 2ème Bac PC et SVT explique l’orientation de l’espace, le calcul avec les coordonnées, l’aire d’un triangle, les plans et les distances, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.

Cours de produit vectoriel 2ème Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Orientation de l’espace

L’idée Avec trois vecteurs, l’ordre compte : (i, j, k) et (i, k, j) ne « tournent » pas dans le même sens. Pour savoir si une base est directe ou indirecte, on utilise le bonhomme d’Ampère ou la règle de la main droite.

Le bonhomme d’Ampère L’espace est muni d’un repère orthonormé (O ; i, j, k). On place un observateur imaginaire debout sur l’axe (Oz), pieds en O, qui regarde vers l’axe (Ox).

Si l’axe (Oy) est à sa gauche : la base (i, j, k) est directe.
Si l’axe (Oy) est à sa droite : la base est indirecte.

Même vocabulaire pour le repère (O ; i, j, k).

Règle de la main droite Pouce = premier vecteur, index = deuxième vecteur, majeur = troisième : si les trois doigts pointent dans cet ordre, la base est directe.

Remarques utiles Soit (i, j, k) une base directe.

Permutation circulaire : (j, k, i) et (k, i, j) sont directes.
Échange de deux vecteurs : (i, k, j), (k, j, i), (j, i, k) sont indirectes.
Changement de signe d’un seul vecteur : (−i, j, k), (i, −j, k), (i, j, −k) sont indirectes.
Critère avec le déterminant : une base (u, v, w) est directe si et seulement si det(u, v, w) > 0.

Exemple Pour (i, j, k) directe : (k, i, j) est une permutation circulaire, donc directe. (j, i, k) échange deux vecteurs, donc indirecte. (−i, −j, k) change deux signes : le sens change deux fois, donc elle est directe.

2Définition du produit vectoriel

L’idée Le produit scalaire de deux vecteurs donne un nombre. Le produit vectoriel donne un vecteur : un vecteur perpendiculaire aux deux autres, dont la longueur mesure « à quel point ils sont écartés ».

Définition Soient u et v deux vecteurs de l’espace. Le produit vectoriel de u et v est le vecteur noté w = u ∧ v (on lit « u vectoriel v ») défini ainsi :

Si u et v sont colinéaires : u ∧ v = 0.
Si u et v ne sont pas colinéaires : w est tel que
1. w ⊥ u et w ⊥ v (w est orthogonal aux deux) ;
2. la base (u, v, w) est directe ;
3. ‖w‖ = ‖u‖ × ‖v‖ × sin θ, où θ est l’angle (u, v).

w = u ∧ v sort du plan de u et v. Le sens est donné par la règle de la main droite.

Exemple · Calculer une norme

u et v tels que ‖u‖ = 1, ‖v‖ = 3 et (u, v) = π/3. Calculer ‖u ∧ v‖.

‖u ∧ v‖ = ‖u‖ × ‖v‖ × sin(π/3) = 1 × 3 × √32 = 3√32

Astuce Si u ⊥ v, alors sin θ = 1 et ‖u ∧ v‖ = ‖u‖ × ‖v‖. Si u et v sont colinéaires, sin θ = 0 et on retrouve u ∧ v = 0.

3Propriétés du produit vectoriel

Propriétés Pour tous vecteurs u, v, w et tout réel λ :

u ∧ u = 0.
Antisymétrie : v ∧ u = −(u ∧ v). L’ordre compte : si on échange, le résultat change de signe.
Bilinéarité :
(u + v) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w

u ∧ (v + w) = u ∧ v + u ∧ w

(λu) ∧ v = λ(u ∧ v) = u ∧ (λv)

Attention Le produit vectoriel n’est pas commutatif : u ∧ v ≠ v ∧ u (ce sont des vecteurs opposés). Il n’est pas non plus associatif.

Pour retenir Dans une base orthonormée directe (i, j, k) :

i ∧ j = k ; j ∧ k = i ; k ∧ i = j

et dans l’autre sens : j ∧ i = −k, k ∧ j = −i, i ∧ k = −j. Pense à la permutation circulaire i → j → k → i.

4Interprétation géométrique : l’aire

L’idée La norme ‖u ∧ v‖ = ‖u‖ ‖v‖ sin θ est exactement la formule de l’aire d’un parallélogramme construit sur u et v : base × hauteur, avec hauteur = ‖v‖ sin θ.

Le parallélogramme ABDC a pour aire AB × AC × sin α. Le triangle ABC en est la moitié.

Propriété 1 · Parallélogramme Soient A, B, C trois points non alignés. La norme ‖AB ∧ AC‖ est l’aire du parallélogramme construit sur AB et AC.

Propriété 2 · Triangle Soient A, B, C trois points non alignés. L’aire du triangle ABC est

S_ABC = 12 ‖AB ∧ AC‖

Pourquoi ? Soit H le pied de la hauteur issue de C. Alors S = ½ × AB × CH et CH = AC × sin α, donc S = ½ × AB × AC × sin α = ½ ‖AB ∧ AC‖.

Remarque : vecteur normal Si A, B, C sont non alignés, ils définissent un plan (P). Le vecteur AB ∧ AC est orthogonal à AB et à AC : c’est un vecteur normal au plan (ABC).

5Expression avec les coordonnées

L’idée Dans une base orthonormée directe, on développe le produit grâce à la bilinéarité et aux formules i ∧ j = k, etc. Cela donne une formule à connaître ou à retrouver avec un « déterminant ».

Propriété Dans une base orthonormée directe (i, j, k), soient u = xyz et u′ = x′y′z′. Alors :

u ∧ u′ = yz′ − zy′zx′ − xz′xy′ − yx′

Méthode du « tableau » (simple et sûre)

Écris les deux vecteurs en colonnes : x, y, z à gauche, x′, y′, z′ à droite.
1ʳᵉ coordonnée : cache la ligne 1 et fais « diagonale ↘ − diagonale ↙ » avec les lignes 2 et 3 : yz′ − zy′.
2ᵉ coordonnée : cache la ligne 2, et inverse le signe : −(xz′ − zx′) = zx′ − xz′.
3ᵉ coordonnée : cache la ligne 3 : xy′ − yx′.

C’est le développement d’un déterminant 3×3 : le signe de la 2ᵉ coordonnée est inversé (signes + − +).

Exemple 1

u(1 ; 1 ; 1) et v(2 ; 1 ; 2). Calculer u ∧ v.

1ʳᵉ : 1×2 − 1×1 = 1
2ᵉ : 1×2 − 1×2 = 0
3ᵉ : 1×1 − 1×2 = −1

Donc u ∧ v = (1 ; 0 ; −1), c’est-à-dire i − k.

Exemple 2

u = i + 2j + k et v = 3i − 2j − k. Calculer u ∧ v.

u(1 ; 2 ; 1) et v(3 ; −2 ; −1)
1ʳᵉ : 2×(−1) − 1×(−2) = −2 + 2 = 0
2ᵉ : 1×3 − 1×(−1) = 3 + 1 = 4
3ᵉ : 1×(−2) − 2×3 = −2 − 6 = −8

Donc u ∧ v = 4j − 8k.

Vérification express Le résultat w doit être orthogonal aux deux vecteurs : calcule w · u et w · v, ils doivent valoir 0. Dans l’exemple 1 : (1 ; 0 ; −1)·(1 ; 1 ; 1) = 0 ✓ et (1 ; 0 ; −1)·(2 ; 1 ; 2) = 0 ✓.

Essaie toi-même

u =

v =

u ∧ v	‖u ∧ v‖	Aire du parallélogramme	Aire du triangle	Colinéaires ?

6Applications

6.1 · Alignement de trois points

Propriété A, B, C sont alignés ⇔ AB et AC colinéaires ⇔ AB ∧ AC = 0.

6.2 · Équation d’un plan défini par trois points

Propriété Si A, B, C sont non alignés, n = AB ∧ AC est normal au plan (ABC). Donc

M(x ; y ; z) ∈ (ABC) ⇔ AM · (AB ∧ AC) = 0

Cette équivalence donne l’équation cartésienne du plan.

Exemple

Repère orthonormé direct. A(0 ; 1 ; 2), B(1 ; 1 ; 0), C(1 ; 0 ; 1).

1) A, B, C sont-ils alignés ? AB(1 ; 0 ; −2) et AC(1 ; −1 ; −1).

1ʳᵉ : 0×(−1) − (−2)×(−1) = −2
2ᵉ : (−2)×1 − 1×(−1) = −1
3ᵉ : 1×(−1) − 0×1 = −1

AB ∧ AC = (−2 ; −1 ; −1) ≠ 0 : non alignés.

2) Aire. ‖AB ∧ AC‖ = √(4 + 1 + 1) = √6, donc S_ABC = √62.

3) Plan. n(−2 ; −1 ; −1) est normal : −2x − y − z + d = 0. Avec A : −0 − 1 − 2 + d = 0, donc d = 3. Le plan est −2x − y − z + 3 = 0, soit 2x + y + z − 3 = 0.

Vérification : B : 2 + 1 + 0 − 3 = 0 ✓ ; C : 2 + 0 + 1 − 3 = 0 ✓.

6.3 · Intersection de deux plans

Propriété Soient (P) de vecteur normal n et (Q) de vecteur normal m, avec n et m non colinéaires. Alors (P) et (Q) se coupent suivant une droite (Δ) dirigée par n ∧ m.

Pourquoi ? Un vecteur directeur u de (Δ) est dans les deux plans, donc u ⊥ n et u ⊥ m. Or n ∧ m est justement orthogonal à n et à m, donc colinéaire à u.

Exemple

(P) : x − y + 2z + 1 = 0 et (P′) : 2x + y − z + 2 = 0. Déterminer leur intersection.

n(1 ; −1 ; 2) et n′(2 ; 1 ; −1).

1ʳᵉ : (−1)(−1) − 2×1 = −1
2ᵉ : 2×2 − 1×(−1) = 5
3ᵉ : 1×1 − (−1)×2 = 3

n ∧ n′ = (−1 ; 5 ; 3) ≠ 0 : les plans sont sécants suivant une droite (D) de vecteur directeur u(−1 ; 5 ; 3).

Un point de (D) : on prend z = 0. Le système x − y + 1 = 0 et 2x + y + 2 = 0 donne, en additionnant, 3x + 3 = 0, donc x = −1 et y = 0. Le point est A(−1 ; 0 ; 0).

Représentation paramétrique :

x = −1 − t ; y = 5t ; z = 3t (t ∈ ℝ)

Vérification avec t = 1 : M(−2 ; 5 ; 3). (P) : −2 − 5 + 6 + 1 = 0 ✓. (P′) : −4 + 5 − 3 + 2 = 0 ✓.

6.4 · Distance d’un point à une droite

Propriété Soit (D) la droite passant par A de vecteur directeur u, et M un point de l’espace. La distance de M à (D) est

d(M ; (D)) = MH = ‖u ∧ AM‖‖u‖

où H est le projeté orthogonal de M sur (D). Cette formule reste vraie si M ∈ (D) (on trouve 0).

Pourquoi ? Prends B tel que AB = u. L’aire du triangle ABM vaut ½ ‖AB ∧ AM‖, mais aussi ½ × AB × MH. Donc MH = ‖u ∧ AM‖ / AB = ‖u ∧ AM‖ / ‖u‖.

Exemple

Distance de M(−1 ; 0 ; 1) à la droite (D) passant par A(1 ; −1 ; 0) et de vecteur directeur u(2 ; −1 ; 2).

AM(−2 ; 1 ; 1). Calculons AM ∧ u :

1ʳᵉ : 1×2 − 1×(−1) = 3
2ᵉ : 1×2 − (−2)×2 = 6
3ᵉ : (−2)(−1) − 1×2 = 0

AM ∧ u = (3 ; 6 ; 0), de norme √45 = 3√5. De plus ‖u‖ = √(4 + 1 + 4) = 3.

d(M ; (D)) = 3√53 = √5

(Même résultat avec u ∧ AM : les deux vecteurs sont opposés, leurs normes sont égales.)

7Méthodes et erreurs à éviter

Que faire dans un exercice ?

On te demande…	Tu fais…
Prouver que A, B, C sont alignés	Calcule AB ∧ AC : si c’est 0, alignés ; sinon non alignés.
Aire du triangle ABC	½ ‖AB ∧ AC‖.
Aire du parallélogramme ABDC	‖AB ∧ AC‖.
Équation du plan (ABC)	n = AB ∧ AC donne (a ; b ; c), puis d en remplaçant A.
Intersection de deux plans	Direction = n ∧ m ; un point en fixant une coordonnée (ex. z = 0).
Distance d’un point à une droite	‖u ∧ AM‖ / ‖u‖.
Norme de u ∧ v avec un angle	‖u‖ ‖v‖ sin θ.

Erreurs à éviter

Oublier le signe du milieuLa 2ᵉ coordonnée est zx′ − xz′ (ou −(xz′ − zx′)). Beaucoup oublient d’inverser le signe.

Confondre · et ∧u · v est un nombre (produit scalaire). u ∧ v est un vecteur.

Échanger l’ordreu ∧ v = −(v ∧ u). Un signe oublié donne un vecteur normal opposé (ça va pour une équation de plan, pas pour un sens d’orientation).

Oublier le ½ pour le triangle‖AB ∧ AC‖ est l’aire du parallélogramme, pas du triangle.

Repère non orthonormé directLes formules avec coordonnées exigent une base orthonormée directe.

Ne pas vérifierTeste toujours w · u = 0 et w · v = 0 : 10 secondes pour éviter une erreur de calcul.

8Exercices corrigés

★ Exercice 1 · Calculs de produits vectoriels

Dans une base orthonormée directe, calculer u ∧ v pour : 1) u(1 ; 1 ; 1) et v(2 ; 1 ; 2) ; 2) u(2 ; −2 ; 0) et v(1 ; −1 ; 0) ; 3) u(1 ; 0 ; 0) et v(0 ; 1 ; 0).

Voir la solution

1) (1×2 − 1×1 ; 1×2 − 1×2 ; 1×1 − 1×2) = (1 ; 0 ; −1).

2) u = 2v : colinéaires, donc u ∧ v = 0. Vérification : (−2×0 − 0×(−1) ; 0×1 − 2×0 ; 2×(−1) − (−2)×1) = (0 ; 0 ; 0) ✓.

3) (0×0 − 0×1 ; 0×0 − 1×0 ; 1×1 − 0×0) = (0 ; 0 ; 1) = k. On retrouve i ∧ j = k.

★ Exercice 2 · Bases directes ou indirectes

(i, j, k) est directe. Pour chaque base, dire si elle est directe ou indirecte : (j, k, i) ; (i, k, j) ; (−i, j, k) ; (−i, −j, k) ; (k, j, i).

Voir la solution

(j, k, i) : permutation circulaire → directe. (i, k, j) : échange de deux vecteurs → indirecte. (−i, j, k) : un seul signe changé → indirecte. (−i, −j, k) : deux signes changés → directe. (k, j, i) : échange de i et k → indirecte.

★ Exercice 3 · Norme avec un angle

‖u‖ = 2, ‖v‖ = 5 et (u, v) = π/6. Calculer ‖u ∧ v‖. Même question si (u, v) = π/2, puis si (u, v) = π.

Voir la solution

π/6 : 2 × 5 × sin(π/6) = 10 × ½ = 5. π/2 : 2 × 5 × 1 = 10. π : 2 × 5 × sin π = 0 (vecteurs colinéaires).

★★ Exercice 4 · Triangle et plan

Repère orthonormé direct. A(0 ; 1 ; 2), B(1 ; 1 ; 0), C(1 ; 0 ; 1). 1) Déterminer AB ∧ AC et vérifier que A, B, C ne sont pas alignés. 2) Calculer l’aire du triangle ABC. 3) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

Voir la solution

1) AB(1 ; 0 ; −2), AC(1 ; −1 ; −1). AB ∧ AC = (0×(−1) − (−2)(−1) ; (−2)×1 − 1×(−1) ; 1×(−1) − 0×1) = (−2 ; −1 ; −1) ≠ 0 : non alignés.

2) ‖·‖ = √6, donc S = √62 unités d’aire.

3) −2x − y − z + d = 0, avec A : −1 − 2 + d = 0, d = 3. Équation : 2x + y + z − 3 = 0. (B : 2 + 1 − 3 = 0 ✓ ; C : 2 + 1 − 3 = 0 ✓)

★★ Exercice 5 · Intersection de deux plans

(P) : x − y + 2z + 1 = 0 et (P′) : 2x + y − z + 2 = 0. Montrer que (P) et (P′) sont sécants et donner une représentation paramétrique de leur intersection.

Voir la solution

n(1 ; −1 ; 2), n′(2 ; 1 ; −1) ne sont pas colinéaires (1/2 ≠ −1/1), donc les plans sont sécants. n ∧ n′ = (1 − 2 ; 4 + 1 ; 1 + 2) = (−1 ; 5 ; 3).

Point : z = 0 donne x − y = −1 et 2x + y = −2, d’où x = −1, y = 0 : A(−1 ; 0 ; 0).

Droite : x = −1 − t, y = 5t, z = 3t (t ∈ ℝ). Contrôle : x − y + 2z + 1 = (−1 − t) − 5t + 6t + 1 = 0 ✓.

★★ Exercice 6 · Distance point-droite

Repère orthonormé. (D) passe par A(1 ; −1 ; 0) et a pour vecteur directeur u(2 ; −1 ; 2). Calculer la distance du point M(−1 ; 0 ; 1) à (D).

Voir la solution

AM(−2 ; 1 ; 1). AM ∧ u = (1×2 − 1×(−1) ; 1×2 − (−2)×2 ; (−2)(−1) − 1×2) = (3 ; 6 ; 0). Norme : √(9 + 36) = 3√5. ‖u‖ = 3.

d = 3√5 / 3 = √5.

★★★ Exercice 7 · Dans un cube

ABCDEFGH est un cube d’arête 1, avec A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0), E(0 ; 0 ; 1) (repère orthonormé direct (A ; AB, AD, AE)). Soit I le milieu de [EF] et K le centre du carré ADHE.

1) a) Montrer que BK = IG ∧ IA. b) En déduire l’aire du triangle IGA.

2) Soit ABCD un quadrilatère convexe dont les diagonales se coupent en T (cas général) et Ω un point tel que DΩ = BT. a) Comparer les aires des triangles ABD et AΩT. b) Montrer que AC ∧ AΩ = AC ∧ BD.

Voir la solution

1) a) Coordonnées : E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1), donc I(½ ; 0 ; 1) et K(0 ; ½ ; ½).

BK(−1 ; ½ ; ½), IG(½ ; 1 ; 0), IA(−½ ; 0 ; −1).

IG ∧ IA = (1×(−1) − 0×0 ; 0×(−½) − ½×(−1) ; ½×0 − 1×(−½)) = (−1 ; ½ ; ½) = BK ✓.

b) S_IGA = ½ ‖IG ∧ IA‖ = ½ √(1 + ¼ + ¼) = ½ × √(3/2) = √64.

2) a) DΩ = BT : BTΩD est un parallélogramme, donc ΩT = DB et ΩT = DB. Soit M le projeté orthogonal de A sur (BD) : AM est la hauteur de ABD et de AΩT (ΩT est parallèle à BD). Donc S_ABD = ½ AM × BD et S_AΩT = ½ AM × ΩT. Comme ΩT = BD, les deux aires sont égales.

b) AC ∧ AΩ = AC ∧ (AT + TΩ) = AC ∧ AT + AC ∧ TΩ. Or A, C, T sont alignés, donc AC ∧ AT = 0. Et TΩ = BD. Donc AC ∧ AΩ = AC ∧ BD.

★Fiche résumé à retenir

Orientation : permutation circulaire = base directe ; un échange ou un signe changé = indirecte. (u, v, w) directe ⇔ det(u, v, w) > 0.
Définition : u ∧ v = 0 si colinéaires ; sinon w ⊥ u, w ⊥ v, (u, v, w) directe, ‖w‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.
Propriétés : u ∧ u = 0 ; v ∧ u = −(u ∧ v) ; bilinéaire. i ∧ j = k, j ∧ k = i, k ∧ i = j.
Coordonnées : u ∧ u′ = (yz′ − zy′ ; zx′ − xz′ ; xy′ − yx′) en base orthonormée directe.
Aire : parallélogramme = ‖AB ∧ AC‖ ; triangle ABC = ½ ‖AB ∧ AC‖.
Alignement : A, B, C alignés ⇔ AB ∧ AC = 0.
Plan (ABC) : normal n = AB ∧ AC ; M ∈ (ABC) ⇔ AM · n = 0.
Deux plans sécants : direction de l’intersection = n ∧ m.
Distance point-droite : d(M ; (D)) = ‖u ∧ AM‖ / ‖u‖.

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