Calcul intégral 2ème Bac PC-SVT : cours complet

Ce cours de calcul intégral pour la 2ème Bac PC et SVT explique l’intégrale, l’intégration par parties, le calcul d’aires et de volumes, avec méthodes et exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.

Cours de calcul intégral 2ème Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Intégrale et primitive

L’idée de départ Prends f(x) = 3 sur [−1 ; 2]. La région entre la droite y = 3 et l’axe des abscisses est un rectangle de largeur 3 et de hauteur 3 : son aire vaut 9. Or F(x) = 3x est une primitive de f, et F(2) − F(−1) = 6 − (−3) = 9. Le nombre F(b) − F(a) mesure l’aire. De plus, si on prend une autre primitive G(x) = 3x + 5, G(2) − G(−1) = 11 − 2 = 9 : le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.

Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I, et F une primitive de f sur I. Le nombre F(b) − F(a) s’appelle l’intégrale de a à b de f :

∫ba f(x) dx = [ F(x) ]ba = F(b) − F(a)

On lit « somme de a à b de f(x) dx ». Le réel a est la borne inférieure, b la borne supérieure.

Remarques

La variable est muette : ∫ba f(x) dx = ∫ba f(t) dt = ∫ba f(s) ds. On peut la renommer, tant qu’elle n’apparaît pas dans les bornes.
Si F₁ et F₂ sont deux primitives de f, F₂ = F₁ + c. Alors F₂(b) − F₂(a) = F₁(b) − F₁(a) : le résultat est le même. Pour calculer, on choisit donc la constante c = 0.
Toute fonction continue sur [a, b] est intégrable sur [a, b] : l’intégrale existe et est un nombre fini.

Méthode de calcul

Vérifie que f est continue sur [a, b].
Trouve une primitive F de f (voir le tableau, partie 5).
Écris [ F(x) ]ba, puis calcule F(b) − F(a) en mettant des parenthèses.

Exemples

1) I = ∫42 3x dx. Primitive : 32x². I = [ 32x² ]42 = 32×16 − 32×4 = 24 − 6 = 18.

2) J = ∫10 (2x + 3) dx. Primitive : x² + 3x. J = (1 + 3) − 0 = 4.

3) K = ∫e²e 1t dt. Primitive : ln t. K = ln e² − ln e = 2 − 1 = 1.

4) L = ∫π/40 cos(2θ) dθ. Primitive : 12 sin 2θ. L = 12 sin(π2) − 12 sin 0 = 12.

2Propriétés de l’intégrale

Propriétés (f, g continues sur un intervalle I ; a, b, c dans I ; α réel)

∫ba f′(x) dx = [ f(x) ]ba = f(b) − f(a)
∫ba α dx = α (b − a)
∫aa f(x) dx = 0
∫ab f(x) dx = − ∫ba f(x) dx (on change le signe si on échange les bornes)
Relation de Chasles : ∫ba f(x) dx = ∫ca f(x) dx + ∫bc f(x) dx
Linéarité : ∫ba (f + g)(x) dx = ∫ba f(x) dx + ∫ba g(x) dx et ∫ba α f(x) dx = α ∫ba f(x) dx

Pourquoi Chasles est vrai ? Avec F une primitive de f : [F(c) − F(a)] + [F(b) − F(c)] = F(b) − F(a). Le terme F(c) se simplifie. Tu peux couper un « trajet » de a à b en passant par n’importe quel point c.

Cas d’une valeur absolue Pour calculer ∫ba |h(x)| dx :
1) étudie le signe de h(x) sur [a, b] (tableau de signes) ;
2) coupe l’intervalle aux points où h change de signe (Chasles) ;
3) sur chaque morceau, remplace |h(x)| par h(x) ou −h(x) selon le signe.

Exemple 1 · I = ∫30 |x − 1| dx x − 1 est négatif sur [0, 1] et positif sur [1, 3]. Donc

I = ∫10 (1 − x) dx + ∫31 (x − 1) dx = [ x − x²2 ]10 + [ x²2 − x ]31 = 12 + 2 = 52

En détail : le second morceau vaut (92 − 3) − (12 − 1) = 32 + 12 = 2.

Exemple 2 · J = ∫0−2 |x(x + 1)| dx Le trinôme x(x + 1) = x² + x s’annule en −1 et 0. Il est positif sur [−2, −1] (à l’extérieur des racines) et négatif sur [−1, 0].

J = ∫−1−2 (x² + x) dx − ∫0−1 (x² + x) dx

Avec la primitive G(x) = x³3 + x²2 : G(−1) = 16, G(−2) = −23, G(0) = 0. Donc J = (G(−1) − G(−2)) − (G(0) − G(−1)) = (16 + 23) − (0 − 16) = 56 + 16 = 1.

Exemple 3 · I + J et I − J On pose I = ∫π/40 cos²x dx et J = ∫π/40 sin²x dx.
I + J = ∫π/40 (cos²x + sin²x) dx = ∫π/40 1 dx = [x ]π/40 = π4.
I − J = ∫π/40 (cos²x − sin²x) dx = ∫π/40 cos 2x dx = [ 12 sin 2x ]π/40 = 12.
On additionne : 2I = π4 + 12, donc I = π + 28. Puis J = π4 − I = π − 28.

Exemple 4 · Même méthode avec des exponentielles On pose I = ∫ln 160 e^x + 3e^x + 4 dx et J = ∫ln 160 1e^x + 4 dx.
I + J = ∫ln 160 e^x + 4e^x + 4 dx = ln 16 = 4 ln 2.
I − 3J = ∫ln 160 e^xe^x + 4 dx = [ ln(e^x + 4) ]ln 160 = ln 20 − ln 5 = ln 4 = 2 ln 2.
En soustrayant : 4J = 2 ln 2, donc J = ln 22. Puis I = 4 ln 2 − ln 22 = 7 ln 22.

Pas de produit ! ∫ f(x) g(x) dx n’est pas égale au produit des intégrales. Il n’y a de règle que pour la somme et la multiplication par un réel.

3Intégrales et ordre

Propriétés (f, g continues sur [a, b], avec a ≤ b)

Positivité : si f ≥ 0 sur [a, b], alors ∫ba f(x) dx ≥ 0.
Comparaison : si f ≤ g sur [a, b], alors ∫ba f(x) dx ≤ ∫ba g(x) dx.
Valeur absolue : | ∫ba f(x) dx | ≤ ∫ba |f(x)| dx.

Attention aux bornes Ces propriétés exigent a ≤ b. Elles se prouvent avec une primitive F de f : si f ≥ 0, F est croissante, donc F(b) ≥ F(a). Les réciproques sont fausses : ∫20 (x − 1) dx = 0 ≥ 0, mais x − 1 n’est pas positif sur [0, 2].

Méthode pour encadrer une intégrale

Encadre la fonction à intégrer sur [a, b] : m ≤ f(x) ≤ M (en partant de l’encadrement de x).
Intègre l’inégalité (les bornes a ≤ b ne changent pas le sens).
Calcule les deux intégrales encadrantes (souvent des intégrales simples).

Cas particulier : si m ≤ f ≤ M sur [a, b], alors m(b − a) ≤ ∫ba f(x) dx ≤ M(b − a).

Exemple 1 · Montrer que ∫e1 ln x dx ≥ 0 Sur [1, e], ln x ≥ 0 (car x ≥ 1) et ln est continue. Donc l’intégrale est positive.

Exemple 2 · Montrer que 1e ≤ ∫10 e^−t² dt ≤ 1 Pour t ∈ [0 ; 1], 0 ≤ t² ≤ 1, donc −1 ≤ −t² ≤ 0. Comme exp est croissante : e⁻¹ ≤ e^−t² ≤ e⁰ = 1. On intègre sur [0 ; 1] : ∫10 e⁻¹ dt ≤ ∫10 e^−t² dt ≤ ∫10 1 dt, c’est-à-dire 1e ≤ ∫ ≤ 1.

Exemple 3 · Montrer que 16 ≤ ∫10 x²1 + x dx ≤ 13 Pour x ∈ [0 ; 1] : 1 ≤ 1 + x ≤ 2, donc 12 ≤ 11 + x ≤ 1. On multiplie par x² ≥ 0 : x²2 ≤ x²1 + x ≤ x². On intègre : ∫10 x²2 dx = 16 et ∫10 x² dx = 13. D’où l’encadrement.

Exemple 4 · Une suite d’intégrales Soit u_n = ∫10 11 + xⁿ dx. Pour x ∈ [0 ; 1] : 0 ≤ xⁿ ≤ 1, donc 1 ≤ 1 + xⁿ ≤ 2 et 12 ≤ 11 + xⁿ ≤ 1. On intègre sur [0 ; 1] : 12 ≤ u_n ≤ 1. Pour la monotonie : u_n+1 − u_n = ∫10 xⁿ(1 − x)(1 + xⁿ)(1 + xⁿ⁺¹) dx, et l’intégrande est ≥ 0 sur [0 ; 1], donc u_n+1 − u_n ≥ 0 : la suite est croissante.

4La valeur moyenne

Théorème et définition Si f est continue sur [a, b] avec a < b, il existe au moins un réel c ∈ [a, b] tel que

f(c) = 1b − a ∫ba f(x) dx

Le nombre 1b − a ∫ba f(x) dx s’appelle la valeur moyenne de f sur [a, b].

Comment le comprendre ? Si f est positive, ∫ba f(x) dx est l’aire sous la courbe. Cette aire est égale à celle d’un rectangle de base b − a et de hauteur f(c) : c’est la hauteur « moyenne » de la courbe.

Preuve (idée) f étant continue sur [a, b], elle admet un minimum m et un maximum M. On a m ≤ f ≤ M, donc m(b − a) ≤ ∫ f ≤ M(b − a), soit m ≤ 1b − a ∫ f ≤ M. Par le théorème des valeurs intermédiaires, cette moyenne est une valeur prise par f.

Exemple 1 Valeur moyenne de f(x) = x² sur [0 ; 3] : 13 − 0 ∫30 x² dx = 13 × [ x³3 ]30 = 13 × 9 = 3.

Exemple 2 Valeur moyenne de f(x) = e^x(e^x + 1)² sur [0 ; ln 2]. On reconnaît u′/u² avec u = e^x + 1, de primitive −1u. Donc

∫ln 20 e^x(e^x + 1)² dx = [ −1e^x + 1 ]ln 20 = −13 + 12 = 16

La valeur moyenne est 1ln 2 − 0 × 16 = 16 ln 2.

5Calculer une intégrale avec les primitives

Primitives usuelles (c = constante)

f(x)	Une primitive F(x)
α (constante)	αx
xⁿ (n entier ≥ 0)	xⁿ⁺¹n + 1
x^r (r rationnel, r ≠ −1)	x^r+1r + 1
1x	ln\|x\|
√x	23 x√x
e^x	e^x
cos(ax + b)	1a sin(ax + b)
sin(ax + b)	−1a cos(ax + b)

Formes composées (u dérivable)

f	Une primitive
u′ + v′	u + v
α u′	α u
u′ u^r (r ≠ −1)	u^r+1r + 1
u′u	ln\|u\|
u′u²	−1u
u′2√u	√u
u′ e^u	e^u
u′ cos u	sin u
u′ sin u	−cos u

Le réflexe : chercher u′ Regarde l’intégrande : y a-t-il une fonction u « à l’intérieur » et sa dérivée u′ « à côté » ? Si oui, tu reconnais l’une des formes ci-dessus. Il manque souvent juste un coefficient constant que tu rajoutes (et que tu compenses).

Exemples · Reconnaître u′ u^r, u′/u, u′e^u…

1) ∫e1 ln²xx dx. u = ln x, u′ = 1x, donc l’intégrande est u′u². Primitive : ln³x3. Résultat : 13 − 0 = 13.

2) ∫e1 ln xx dx. u′u avec u = ln x : ln²x2. Résultat : 12 − 0 = 12.

3) ∫ln 20 e^xe^x + 1 dx. u = e^x + 1, u′ = e^x : primitive ln(e^x + 1). Résultat : ln 3 − ln 2 = ln(32).

4) ∫√(ln 2)0 t e^−t² dt. u = −t², u′ = −2t. Donc t e^−t² = −12 u′ e^u, de primitive −12 e^−t². Résultat : −12 e^{−ln 2} + 12 = −14 + 12 = 14.

5) ∫32 2x + 3√(x² + 3x − 4) dx. u = x² + 3x − 4, u′ = 2x + 3 : u′√u = 2 × u′2√u, primitive 2√u. Résultat : 2(√14 − √6).

6) ∫10 √(2x + 1) dx. u = 2x + 1, u′ = 2 : √u = 12 u′ u^1/2, primitive 12 × u^3/23/2 = 13 (2x + 1)^3/2. Résultat : 13 × 3√3 − 13 = √3 − 13.

7) ∫21 3(3x − 4)⁵ dx. u = 3x − 4, u′ = 3 : u′u⁻⁵, primitive −14 (3x − 4)⁻⁴. Résultat : −14 × 116 + 14 = 1564.

8) ∫21 1x(1 + ln x) dx. u = 1 + ln x, u′ = 1x : u′u, primitive ln|1 + ln x|. Résultat : ln(1 + ln 2) − ln 1 = ln(1 + ln 2).

Exemples · Transformer avant d’intégrer

Linéarisation : ∫π/40 cos²x dx. On utilise cos²x = 1 + cos 2x2 : ∫ = 12 [ x + 12 sin 2x ]π/40 = 12(π4 + 12) = π + 28.

Avec tan : ∫π/40 tan²x dx. On utilise tan²x = (1 + tan²x) − 1, et (tan x)′ = 1 + tan²x. Primitive : tan x − x. Résultat : 1 − π4.

Décomposition en éléments simples : ∫53 4x − 5x² − 1 dx. On vérifie que 92(x + 1) − 12(x − 1) = 4x − 5x² − 1. Donc l’intégrale vaut [ 92 ln|x + 1| − 12 ln|x − 1| ]53 = 92(ln 6 − ln 4) − 12(ln 4 − ln 2) = 92 ln 3 − 5 ln 2.

Avec un quotient de polynômes : ∫e1 8x⁹ − 4x + 2x dx = ∫e1 (8x⁸ − 4 + 2x) dx = [ 89 x⁹ − 4x + 2 ln x ]e1 = 89 e⁹ − 4e + 469.

6L’intégration par parties (IPP)

Quand l’utiliser ? Pour une intégrale comme ∫e1 ln x dx ou ∫π0 x sin x dx, aucune primitive usuelle ne marche directement. L’IPP transforme l’intégrale en une autre, plus facile.

Formule d’intégration par parties (u et v dérivables, u′ et v′ continues sur [a, b])

∫ba u′(x) v(x) dx = [ u(x) v(x) ]ba − ∫ba u(x) v′(x) dx

Elle vient de la dérivée d’un produit : (uv)′ = u′v + uv′. On intègre cette égalité entre a et b.

Méthode

Dans l’intégrande, choisis la partie qui va être dérivée (v) et celle qui va être intégrée (u′).
Écris : u′ = …, v = …, puis calcule u (une primitive de u′) et v′.
Applique la formule, puis calcule le crochet et la nouvelle intégrale.

Règle de choix (L.P.E.T) : on dérive en priorité le Logarithme, puis le Polynôme ; on intègre l’Exponentielle ou la fonction Trigonométrique. L’ordre des lettres L, P, E, T donne la priorité pour v (celle qu’on dérive).

Exemple 1 · I = ∫π0 x sin x dx On pose v(x) = x (polynôme, à dériver) et u′(x) = sin x. Donc v′ = 1 et u(x) = −cos x.

I = [ −x cos x ]π0 − ∫π0 (−cos x) dx = [ −x cos x ]π0 + [ sin x ]π0 = π + 0 = π

Détail : [−x cos x] en π vaut −π × (−1) = π, en 0 vaut 0.

Exemple 2 · J = ∫ln 20 x e^x dx v = x, u′ = e^x, donc v′ = 1, u = e^x.

J = [ x e^x ]ln 20 − ∫ln 20 e^x dx = 2 ln 2 − (2 − 1) = 2 ln 2 − 1

Exemple 3 · K = ∫e1 ln x dx On écrit ln x = 1 × ln x. On pose v = ln x (à dériver) et u′ = 1, donc v′ = 1x et u = x.

K = [ x ln x ]e1 − ∫e1 x × 1x dx = e − ∫e1 1 dx = e − (e − 1) = 1

Exemple 4 · ∫10 x e^2x dx v = x, u′ = e^2x, donc v′ = 1 et u = 12 e^2x.

= [ x2 e^2x ]10 − 12 ∫10 e^2x dx = e²2 − 14(e² − 1) = e² + 14

Exemple 5 · ∫e1 x ln x dx v = ln x, u′ = x, donc v′ = 1x, u = x²2.

= [ x²2 ln x ]e1 − ∫e1 x2 dx = e²2 − [ x²4 ]e1 = e²2 − e² − 14 = e² + 14

Exemple 6 · ∫e³1 ln x³√x² dx = ∫e³1 x^−2/3 ln x dx v = ln x, u′ = x^−2/3, donc v′ = 1x, u = 3x^1/3.

= [ 3x^1/3 ln x ]e³1 − ∫e³1 3x^−2/3 dx = 9e − [ 9x^1/3 ]e³1 = 9e − 9e + 9 = 9

Deux IPP de suite Pour ∫π/20 x² cos x dx, on fait une IPP avec v = x² (v′ = 2x), ce qui donne [x² sin x] − ∫ 2x sin x dx. On refait ensuite une IPP sur ∫ x sin x dx (comme l’exemple 1). Le polynôme perd un degré à chaque fois. Résultat : π²4 − 2.

N’oublie pas le crochet Le terme [u v] doit être évalué entre a et b. Et le signe « − » devant la nouvelle intégrale se distribue : −∫ (−cos x) dx = +∫ cos x dx.

7Intégrale et aire

Unité d’aire (u.a.) Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, i, j). Soient I et J les points tels que OI = i et OJ = j. L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ. Si ‖i‖ = 2 cm et ‖j‖ = 2 cm, alors 1 u.a. = 4 cm².

Aire sous une courbe (f continue sur [a, b])

Si f ≥ 0 sur [a, b] : l’aire du domaine entre C_f, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b est A = ∫ba f(x) dx u.a.
Si f ≤ 0 sur [a, b] : A = − ∫ba f(x) dx u.a.
Dans tous les cas : A = ∫ba |f(x)| dx u.a. (on étudie le signe de f et on coupe avec Chasles).

L’aire coloriée sous la courbe de f(x) = x² entre x = 1 et x = 2 vaut ∫21 x² dx = 73 u.a.

Visualiser une intégrale : choisis une fonction, les bornes, et le nombre de rectangles. Plus il y en a, plus la somme des aires des rectangles se rapproche de l’intégrale.

f(x) = a = b =

Rectangles : 6

Somme des rectangles	Intégrale exacte	Écart

Aire entre deux courbes Soient f et g continues sur [a, b]. L’aire du domaine limité par C_f, C_g et les droites x = a et x = b est

A = ∫ba |f(x) − g(x)| dx u.a.

Si f ≥ g sur [a, b], c’est ∫ba (f(x) − g(x)) dx. Si les courbes se croisent, on coupe l’intervalle aux points d’intersection.

Convertir en cm²

Aire en cm² = (valeur en u.a.) × ‖i‖ × ‖j‖

Exemple 1 · f(x) = x², x = 1 et x = 2, ‖i‖ = ‖j‖ = 2 cm f ≥ 0 : A = ∫21 x² dx = [ x³3 ]21 = 83 − 13 = 73 u.a. Comme 1 u.a. = 2 × 2 = 4 cm² : A = 283 cm².

Exemple 2 · f(x) = x² − 2x, x = 1 et x = 3, repère orthogonal avec ‖i‖ = 2 cm et ‖j‖ = 3 cm x² − 2x = x(x − 2) s’annule en 0 et 2. Sur [1, 2] elle est négative, sur [2, 3] positive. Donc

A = ∫21 −(x² − 2x) dx + ∫32 (x² − 2x) dx = [ x² − x³3 ]21 + [ x³3 − x² ]32

Premier morceau : (4 − 83) − (1 − 13) = 43 − 23 = 23. Deuxième : (9 − 9) − (83 − 4) = 43. Total : 2 u.a. Donc A = 2 × (2 × 3) = 12 cm².

Exemple 3 · f(x) = 1 − e^x entre x = ln 2 et x = ln 4 (‖i‖ = ‖j‖ = 2 cm) Pour x ∈ [ln 2, ln 4] : 2 ≤ e^x ≤ 4, donc 1 − e^x < 0. Alors |f(x)| = e^x − 1 et

A = ∫ln 4ln 2 (e^x − 1) dx = [ e^x − x ]ln 4ln 2 = (4 − ln 4) − (2 − ln 2) = 2 − ln 2 u.a.

Donc A = 4(2 − ln 2) cm².

Exemple 4 · Entre deux courbes f(x) = 2e^xe^x + 1 + e^−x et g(x) = e^−x, x = 0 et x = ln 2, ‖i‖ = ‖j‖ = 2 cm.
f(x) − g(x) = 2e^xe^x + 1 > 0. Donc A = ∫ln 20 2e^xe^x + 1 dx = [ 2 ln(e^x + 1) ]ln 20 = 2 ln 3 − 2 ln 2 = 2 ln(32) u.a.
A = 4 × 2 ln(32) = 8 ln(32) cm².

Exemple 5 · Parabole et tangente f(x) = x² − 8x + 12, ‖i‖ = ‖j‖ = 0,5 cm. La tangente (D) en A(3 ; f(3)) : f(3) = −3, f′(x) = 2x − 8 donc f′(3) = −2, et (D) : y = −2x + 3.
f(x) − y = x² − 6x + 9 = (x − 3)² ≥ 0 : la parabole est au-dessus de sa tangente. L’aire entre x = 0 et x = 6 : ∫60 (x − 3)² dx = [ (x − 3)³3 ]60 = 273 + 273 = 18 u.a. Comme 1 u.a. = 0,25 cm² : A = 4,5 cm².

Exemple 6 · Courbe et asymptote f(x) = x − 1 + ln xx et la droite y = x − 1, entre x = 1 et x = e, ‖i‖ = ‖j‖ = 1 cm. f(x) − (x − 1) = ln xx ≥ 0 sur [1, e]. A = ∫e1 ln xx dx = [ ln²x2 ]e1 = 12 u.a. Donc A = 12 cm².

Exemple 7 · f(x) = e^√x et g(x) = √x e^√x sur [0 ; 1] Comme 0 ≤ √x ≤ 1, on a g ≤ f, donc A = ∫10 e^√x(1 − √x) dx. On pose t = √x, donc x = t² et dx = 2t dt : A = 2 ∫10 (t − t²) e^t dt. Avec deux IPP, une primitive de (t − t²)e^t est (−t² + 3t − 3)e^t. Donc A = 2([ (−t² + 3t − 3)e^t ]10) = 2(−e + 3) = 6 − 2e u.a. (environ 0,56).

Aire ≠ intégrale quand le signe change ∫2π0 sin x dx = 0, mais l’aire entre la courbe de sin et l’axe vaut 4 u.a. (deux arches de 2 u.a.). Pour une aire, il faut toujours la valeur absolue.

8Volume d’un solide de révolution

L’idée On fait tourner la courbe de f autour de l’axe des abscisses : cela engendre un solide (comme un vase). Une « tranche » du solide, coupée par un plan x = constante, est un disque de rayon f(x), d’aire π (f(x))². On additionne toutes ces tranches avec une intégrale.

Propriété Soit f continue sur [a, b]. La rotation de C_f autour de (Ox) engendre un solide de volume

V = ∫ba π (f(x))² dx u.v.

L’unité de volume dans un repère (O, i, j, k) orthonormé est u.v. = ‖i‖ × ‖j‖ × ‖k‖.

Exemple 1 · f(x) = √x sur [0 ; 4], ‖i‖ = 2 cm V = ∫40 π (√x)² dx = π ∫40 x dx = π [ x²2 ]40 = 8π u.v. Ici u.v. = 2 × 2 × 2 = 8 cm³. Donc V = 64π cm³.

Exemple 2 · f(x) = √(x(e^x − 1)) sur [0 ; 1], ‖i‖ = 23 cm (f(x))² = x(e^x − 1) = x e^x − x. ∫10 x e^x dx = [ (x − 1)e^x ]10 = 0 − (−1) = 1 (IPP) et ∫10 x dx = 12. Donc V = π × (1 − 12) = π2 u.v. Avec u.v. = (23)³ = 827 cm³ : V = 4π27 cm³.

Le carré est dans l’intégrale Le volume est π × ∫ (f(x))² dx, jamais (π ∫ f(x) dx)² ni π × (∫ f)². Pense à développer (f(x))² avant d’intégrer.

9Méthodes et erreurs à éviter

Que faire dans un exercice ?

On te demande…	Tu fais…
Calculer ∫ f	Cherche u′ dans f (tableau de primitives). Calcule F(b) − F(a).
∫ \|h(x)\|	Tableau de signes de h, coupe avec Chasles, enlève la valeur absolue sur chaque morceau.
Produit de deux types (x e^x, x ln x, x sin x)	Intégration par parties (L.P.E.T).
cos²x, sin²x, cos⁴x	Linéarise avant d’intégrer.
Quotient de polynômes	Divise ou décompose : ax − α + bx − β.
Montrer un encadrement	Encadre l’intégrande, intègre l’inégalité.
I + J et I − J	Calcule la somme et la différence, puis résous le système.
Aire	Signe de f, valeur absolue, Chasles ; multiplie par ‖i‖ × ‖j‖ pour passer en cm².
Volume	V = π ∫ (f(x))² dx, puis × u.v.

Erreurs à éviter

Oublier les parenthèsesF(b) − F(a) : si F(a) est négatif, mets-le entre parenthèses pour ne pas te tromper de signe.

Inverser les bornes∫ab = −∫ba. Si tu inverses sans changer de signe, le résultat est faux.

Aire = intégrale directeSi f change de signe sur [a, b], l’intégrale compense positif et négatif. L’aire demande |f|.

Oublier l’unitéUne aire demandée en cm² : multiplie les u.a. par ‖i‖ × ‖j‖ (pas seulement par ‖i‖).

Mauvais choix pour l’IPPPour x ln x, on dérive ln x ; sinon l’intégrale devient plus compliquée au lieu de plus simple.

∫ f g = ∫ f × ∫ gFaux. L’intégrale d’un produit n’est pas le produit des intégrales.

10Exercices d’entraînement corrigés

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★ Exercice 1 · Calculs directs

Calculer : (a) ∫20 (2x − 1) dx (b) ∫1−1 (x⁴ − 4x³ + 2) dx (c) ∫21 1x² dx (d) ∫ln 20 e^2t dt (e) ∫π/30 (2 − cos 3x) dx.

Voir la solution

(a) [x² − x] de 0 à 2 : (4 − 2) − 0 = 2.

(b) Primitive : x⁵5 − x⁴ + 2x. En 1 : 15 − 1 + 2 = 65. En −1 : −15 − 1 − 2 = −165. Différence : 65 + 165 = 225.

(d) Primitive : 12 e^2t. 12 × 4 − 12 = 32.

(e) Primitive : 2x − 13 sin 3x. En π3 : 2π3 − 13 sin π = 2π3. En 0 : 0. Résultat : 2π3.

★★ Exercice 2 · Forme u′/u, u′uⁿ, u′e^u

Calculer : (a) ∫10 e^xe^x + 1 dx (b) ∫π/20 cos x sin³x dx (c) ∫10 (x − 1) e^(x−1)² dx (d) ∫ln 3ln 2 e^x + e^−xe^x − e^−x dx.

Voir la solution

(a) u = e^x + 1 : [ ln(e^x + 1) ] de 0 à 1 = ln(e + 1) − ln 2 = ln(e + 12).

(b) u = sin x, u′ = cos x : sin⁴x4 de 0 à π2 = 14.

(c) u = (x − 1)², u′ = 2(x − 1) : l’intégrande vaut 12 u′e^u. Primitive : 12 e^(x−1)². Résultat : 12 e⁰ − 12 e¹ = 12(1 − e).

(d) u = e^x − e^−x, u′ = e^x + e^−x : ln|e^x − e^−x|. En ln 3 : 3 − 13 = 83. En ln 2 : 2 − 12 = 32. Résultat : ln(8/33/2) = ln(169).

★★ Exercice 3 · Valeur absolue

Calculer : (a) ∫31 |x − 2| / (x² − 4x)² dx. (b) ∫ln 30 |2 − e^x| dx (c) ∫20 |x² − x − 2| dx.

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(a) Sur [1, 2], |x − 2| = 2 − x ; sur [2, 3], |x − 2| = x − 2. Comme (x² − 4x)′ = 2(x − 2), une primitive de x − 2(x² − 4x)² est −12(x² − 4x). Sur [1, 2] : −∫ = 12(x² − 4x) de 1 à 2 = 12(−14 + 13) = 124. Sur [2, 3] : [−12(x² − 4x)] de 2 à 3 = 12(13 − 14) = 124. Total : 112.

(b) 2 − e^x ≥ 0 ⇔ x ≤ ln 2. ∫ln 20 (2 − e^x) dx = 2 ln 2 − 1, et ∫ln 3ln 2 (e^x − 2) dx = 1 − 2 ln 3 + 2 ln 2. Somme : 4 ln 2 − 2 ln 3 = ln(169).

(c) x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) ≤ 0 sur [0, 2]. Donc l’intégrale vaut ∫20 (−x² + x + 2) dx = [ −x³3 + x²2 + 2x ]20 = −83 + 2 + 4 = 103.

★★ Exercice 4 · Intégration par parties

Calculer par IPP : (a) ∫10 (x − 1) e^−x dx (b) ∫π/20 x² sin x dx (c) ∫e1 x² ln x dx.

Voir la solution

(a) v = x − 1, u′ = e^−x, donc v′ = 1, u = −e^−x. [ −(x − 1)e^−x ] de 0 à 1 = 0 − (1) = −1, puis − ∫(−e^−x) = + ∫10 e^−x dx = 1 − e⁻¹. Total : −1 + 1 − e⁻¹ = −1e.

(b) v = x², u′ = sin x, donc v′ = 2x, u = −cos x : [−x² cos x] de 0 à π2 = 0, puis + 2 ∫π/20 x cos x dx. Par une 2^e IPP : ∫ x cos x dx = [x sin x] − ∫ sin x dx = π2 − 1. Résultat : π − 2.

(c) v = ln x, u′ = x², donc v′ = 1x, u = x³3 : [ x³3 ln x ] de 1 à e = e³3, puis − ∫e1 x²3 dx = −e³ − 19. Résultat : e³3 − e³ − 19 = 2e³ + 19.

★★ Exercice 5 · Linéarisation

1) Montrer que cos⁴x = 18(cos 4x + 4 cos 2x + 3). 2) En déduire ∫π/20 cos⁴x dx.

Voir la solution

1) Voir le chapitre Nombres complexes (Partie 2) : avec cos x = e^ix + e^−ix2, on développe (e^ix + e^−ix)⁴ = 2 cos 4x + 8 cos 2x + 6, puis on divise par 16.

2) ∫π/20 cos⁴x dx = 18 [ sin 4x4 + 2 sin 2x + 3x ]π/20 = 18(0 + 0 + 3π2) = 3π16.

★★ Exercice 6 · Suite d’intégrales

Pour n ∈ ℕ*, on pose I_n = ∫10 xⁿ √(x + 3) dx. 1) Montrer que (I_n) est décroissante. 2) Montrer que √3n + 1 ≤ I_n ≤ 2n + 1. 3) En déduire la limite de (I_n).

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1) Pour x ∈ [0 ; 1] : xⁿ⁺¹ ≤ xⁿ, donc xⁿ⁺¹√(x + 3) ≤ xⁿ√(x + 3). On intègre : I_n+1 ≤ I_n. La suite est décroissante.

2) Pour x ∈ [0 ; 1] : 3 ≤ x + 3 ≤ 4, donc √3 ≤ √(x + 3) ≤ 2. On multiplie par xⁿ ≥ 0 : √3 xⁿ ≤ xⁿ√(x + 3) ≤ 2xⁿ. On intègre : ∫10 xⁿ dx = 1n + 1, d’où l’encadrement.

3) √3n + 1 → 0 et 2n + 1 → 0. Par le théorème des gendarmes, I_n → 0.

★★★ Exercice 7 · Aires

Repère orthonormé, ‖i‖ = 2 cm. 1) f(x) = x² − 2x : aire entre C_f, l’axe des abscisses, x = 1 et x = 3 (repère orthonormé). 2) Montrer que 4x − 5x² − 1 = 92(x + 1) − 12(x − 1) et calculer ∫53 4x − 5x² − 1 dx.

Voir la solution

1) Le calcul est celui de l’exemple 2 de la partie 7 : l’aire vaut 2 u.a. Avec ‖i‖ = ‖j‖ = 2 cm : 1 u.a. = 4 cm², donc A = 8 cm².

2) 92(x + 1) − 12(x − 1) = 9(x − 1) − (x + 1)2(x + 1)(x − 1) = 8x − 102(x² − 1) = 4x − 5x² − 1 ✓. Alors ∫ = [ 92 ln(x + 1) − 12 ln(x − 1) ]53 = 92 ln 6 − 12 ln 4 − 92 ln 4 + 12 ln 2 = 92 ln(32) − 12 ln 2 = 92 ln 3 − 5 ln 2.

★★★ Exercice 8 · Volumes

Repère orthonormé (O, i, j, k) avec ‖i‖ = 2 cm. Soit f(x) = √(ln x). Calculer en cm³ le volume du solide engendré par la rotation de C_f autour de (Ox) sur [1 ; e].

Voir la solution

(f(x))² = ln x. V = π ∫e1 ln x dx = π × 1 = π u.v. (l’intégrale de ln x a été calculée à l’exemple 3 de la partie 6).

Avec ‖i‖ = ‖j‖ = ‖k‖ = 2 cm : u.v. = 8 cm³. Donc V = 8π cm³.

★Fiche résumé à retenir

Définition : ∫ba f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive de f. La variable est muette.
Propriétés : ∫aa = 0 ; ∫ab = −∫ba ; Chasles : ∫ba = ∫ca + ∫bc ; linéarité (somme et multiple).
Ordre (a ≤ b) : f ≥ 0 ⇒ ∫ ≥ 0 ; f ≤ g ⇒ ∫ f ≤ ∫ g ; | ∫ f | ≤ ∫ |f| ; m ≤ f ≤ M ⇒ m(b − a) ≤ ∫ f ≤ M(b − a).
Valeur moyenne : 1b − a ∫ba f(x) dx = f(c) pour un c ∈ [a, b].
Primitives : u′u^r → u^r+1r + 1 ; u′u → ln|u| ; u′e^u → e^u ; u′u² → −1u ; u′2√u → √u.
IPP : ∫ u′v = [uv] − ∫ u v′ (L.P.E.T : on dérive d’abord Log puis Polynôme).
Aire : A = ∫ba |f(x)| dx u.a. ; entre deux courbes : ∫ |f − g| dx ; en cm² : × ‖i‖ × ‖j‖.
Volume de révolution autour de (Ox) : V = π ∫ba (f(x))² dx u.v. ; u.v. = ‖i‖ × ‖j‖ × ‖k‖.

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