Ensembles de nombres

Ensembles de nombres

Prérequis

Connaître ses prérequis évite de bloquer sur des calculs anciens pendant l'explication d'une notion nouvelle. Valider les prérequis aide à ne pas accumuler de lacunes.

Exercice

Déterminer parmi les nombres suivants :

\( -256 \) ; \( 0 \) ; \( \frac{5}{8} \) ; \( \sqrt{9} \) ; \( -\sqrt{16} \) ; \( \frac{7}{3} \) ; \( \sqrt{7} \) ; \( 3,14 \) ; \( -2,5 \) ; \( \frac{22}{7} \) ; \( 10^{-2} \) ; \( \sqrt{50} \) ; \( \pi \).
1) Les nombres entiers naturels.
📝 Correction détaillée :
📘 Rappel : Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul (\( \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} \)).

🔢 Étape 1 : On simplifie les expressions :

\( \sqrt{9} = 3 \) (entier naturel), \( -\sqrt{16} = -4 \) (négatif, donc non naturel).

\( 10^{-2} = 0,01 \) (non entier), \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \) (non entier).

✅ Conclusion : \( 0 \) et \( \sqrt{9} \) (soit 3) sont les entiers naturels de la liste.
2) Les nombres entiers relatifs.
📝 Correction détaillée :
📘 Rappel : Un entier relatif est un nombre entier positif, négatif ou nul (\( \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} \)).

🔢 Étape 1 : On repère les nombres sans partie décimale :

\( -256 \), \( 0 \), \( \sqrt{9} = 3 \), \( -\sqrt{16} = -4 \).

✅ Conclusion : \( -256 \), \( 0 \), \( \sqrt{9} \), \( -\sqrt{16} \) sont les entiers relatifs de la liste.
3) Les nombres décimaux.
📝 Correction détaillée :
📘 Rappel : Un nombre décimal admet une écriture décimale finie. Tous les entiers relatifs sont décimaux.

🔢 Étape 1 : On examine les fractions et les écritures :

\( \frac{5}{8} = 0,625 \) (fini) → décimal.

\( 3,14 \) (fini), \( -2,5 \) (fini), \( 10^{-2} = 0,01 \) (fini).

\( \frac{7}{3} \approx 2,333... \) (périodique) → non décimal.

\( \frac{22}{7} \approx 3,142857... \) (périodique) → non décimal.

✅ Conclusion : \( -256 \), \( 0 \), \( \sqrt{9} \), \( -\sqrt{16} \), \( \frac{5}{8} \), \( 3,14 \), \( -2,5 \), \( 10^{-2} \) sont décimaux.
4) Les nombres rationnels.
📝 Correction détaillée :
📘 Rappel : Un nombre est rationnel s'il peut s'écrire sous la forme \( \frac{p}{q} \) avec \( p, q \) entiers, \( q \neq 0 \). Tous les décimaux sont rationnels.

🔢 Étape 1 : Tous les nombres précédemment décimaux sont rationnels.

\( \frac{7}{3} \) et \( \frac{22}{7} \) sont des fractions, donc rationnels.

🔢 Étape 2 : Les nombres irrationnels : \( \sqrt{7} \), \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \), \( \pi \).

✅ Conclusion : \( -256 \), \( 0 \), \( \sqrt{9} \), \( -\sqrt{16} \), \( \frac{5}{8} \), \( \frac{7}{3} \), \( 3,14 \), \( -2,5 \), \( \frac{22}{7} \), \( 10^{-2} \) sont rationnels.
5) Les nombres réels.
📝 Correction détaillée :
📘 Rappel : L'ensemble des réels \( \mathbb{R} \) regroupe tous les rationnels et tous les irrationnels.
✅ Conclusion : Tous les nombres de la liste sont des réels.

Vrai ou faux ?

Pour chaque affirmation, répondre par Vrai ou Faux. Justifier brièvement.

1) Le nombre \( \frac{\sqrt{32} + \sqrt{18}}{2} - \sqrt{2} - 3 \) est un entier relatif.
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Simplifier l'expression pour voir si le résultat est un entier (relatif).

🔢 Étape 1 : \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \) et \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \).

Donc \( \frac{4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} - 3 = \frac{7\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} - 3 = \frac{7\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} - 3 = \frac{5\sqrt{2}}{2} - 3 \).

Ce nombre n'est pas un entier (il contient \( \sqrt{2} \)).

✅ Conclusion : FAUX.
2) Le nombre \( \frac{42}{28} \) est un nombre décimal.
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Simplifier la fraction pour obtenir une écriture décimale finie.

🔢 Étape 1 : \( \frac{42}{28} = \frac{3 \times 14}{2 \times 14} = \frac{3}{2} = 1,5 \).

1,5 est une écriture décimale finie.

✅ Conclusion : VRAI.
3) Le nombre \( 3 - \frac{2}{5} + 1 \) est un nombre rationnel.
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Calculer et vérifier si le résultat est une fraction.

🔢 Étape 1 : \( 3 - \frac{2}{5} + 1 = 4 - \frac{2}{5} = \frac{20}{5} - \frac{2}{5} = \frac{18}{5} \).

\( \frac{18}{5} \) est une fraction d'entiers, donc un rationnel.

✅ Conclusion : VRAI.
4) Pour tout nombre réel \( x \), on a \( \sqrt{x^2} = |x| \).
📘 Propriété : Par définition, la racine carrée d'un nombre positif \( a \) est le nombre positif dont le carré vaut \( a \).

Puisque \( x^2 \ge 0 \) et \( |x| \ge 0 \), et que \( |x|^2 = x^2 \), on a bien \( \sqrt{x^2} = |x| \).

✅ Conclusion : VRAI.
5) Le nombre \( (\sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{2})(-\sqrt{3} + \sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{10} - 3) \) est un entier.
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Utiliser l'identité remarquable \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \).

🔢 Étape 1 : On pose \( a = \sqrt{2} + \sqrt{5} \) et \( b = \sqrt{3} \).

\( (\sqrt{2} + \sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{2} + \sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 \).

\( = (2 + 5 + 2\sqrt{10}) - 3 = 4 + 2\sqrt{10} \).

🔢 Étape 2 : On multiplie par \( (\sqrt{10} - 3) \) :

\( (4 + 2\sqrt{10})(\sqrt{10} - 3) = 4\sqrt{10} - 12 + 20 - 6\sqrt{10} = 8 - 2\sqrt{10} \).

\( 8 - 2\sqrt{10} \) n'est pas un entier (il contient \( \sqrt{10} \)).

✅ Conclusion : FAUX.

QCM

Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s). Justifier.

1) L'expression \( x^2 - 6x \) est égale à :
  • a. \( (x-3)^2 - 9 \)
  • b. \( (x+3)^2 - 9 \)
  • c. \( (x-3)^2 + 9 \)
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Développer chaque proposition ou reconnaître une identité remarquable.

🔢 Étape 1 : \( (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 \).

Donc \( (x-3)^2 - 9 = x^2 - 6x + 9 - 9 = x^2 - 6x \).

✅ Réponse correcte : a.
2) L'expression \( x^2 + 5x \) est égale à :
  • a. \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} \)
  • b. \( \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} \)
  • c. \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{25}{4} \)
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Développer la proposition a.

🔢 Étape 1 : \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = x^2 + 5x + \frac{25}{4} \).

Donc \( \left(x + \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} = x^2 + 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} = x^2 + 5x \).

✅ Réponse correcte : a.
3) L'expression \( (\sqrt{3}x - 2)(\sqrt{3}x + 2) \) est égale à :
  • a. \( 3x - 4 \)
  • b. \( 3x^2 - 4 \)
  • c. \( 3x^2 + 4 \)
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Utiliser l'identité \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

🔢 Étape 1 : \( (\sqrt{3}x)^2 - 2^2 = 3x^2 - 4 \).

✅ Réponse correcte : b.
4) Le nombre \( \left( \frac{5}{6} - \frac{3}{4} \right) : \frac{2}{3} \) est égal à :
  • a. \( \frac{1}{8} \)
  • b. \( -\frac{1}{8} \)
  • c. \( \frac{1}{4} \)
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Effectuer les calculs en respectant les priorités.

🔢 Étape 1 : \( \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12} \).

🔢 Étape 2 : Diviser par \( \frac{2}{3} \) revient à multiplier par son inverse : \( \frac{1}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \).

✅ Réponse correcte : a.
5) Le nombre \( B = \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} - \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} \right]^{-1} \) est égal à :
  • a. \( \frac{18}{19} \)
  • b. \( -\frac{18}{19} \)
  • c. \( \frac{19}{18} \)
📝 Correction détaillée :
📘 Méthode : Simplifier les puissances négatives, puis effectuer la soustraction et enfin prendre l'inverse.

🔢 Étape 1 : \( \left( \frac{2}{3} \right)^{-1} = \frac{3}{2} \).

🔢 Étape 2 : \( \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \).

🔢 Étape 3 : Calcul de la parenthèse : \( \frac{3}{2} - \frac{4}{9} = \frac{27}{18} - \frac{8}{18} = \frac{19}{18} \).

🔢 Étape 4 : On prend l'inverse : \( \left( \frac{19}{18} \right)^{-1} = \frac{18}{19} \).

✅ Conclusion : \( B = \frac{18}{19} \). La bonne réponse est a.