Olympiade Math – Fonction – Ex 05

Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Math – Fonction Exercice 05

Soit  la fonction f : N*➝ N
 Tel que : 
* f(n+1)= n(-1)⁽ⁿ⁺¹⁾-2f(n)
* f(1)=1009
* f(2020)=0

Calculer f(1)+f(2)+….+f(2020).

Solution

On a: f(n+1)= nx(-1)⁽ⁿ⁺¹⁾-2f(n)
* n=1: f(2)+2f(1)=1
* n=2: f(3)+2f(2)=-2

* n=3: f(4)+2f(3)=1
.
.
.
* n=2019: f(2020)+2f(2019)=2019

* sommes  de termes:
f(2)+..+f(2020)+2f(1)+..+2f(2019)=1-2+..-2018+2019
3[ f(1)+..+f(2019)]-f(1)+f(2020)=-1-1..-1+2019=-1009+2019
3[ f(1)+..+f(2019)]=f(1)-f(2020)-1009+2019
3[ f(1)+..+f(2019)]=1009-0-1009+2019=2019

➡️ f(1)+..+f(2019)+f(2020)=2019/3=673 (car f(2020)=0)

Liens utiles :

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