a et b sont deux réels non nuls et de même signe.
On définit :
• le nombre m tel que:m =(a+b)/2, qui est la moyenne arithmétique de a et b ;
• le nombre n tel que:
qui est leur moyenne géométrique.
• Le nombre p tel que: 2/p = 1/a + 1/b, qui est leur moyenne harmonique.
1. On prend a = 2 et b = 8.
Calculer m, n et p puis comparer ces trois moyennes.
2. Même question pour a =−12 et b =−3.
3. Montrer que p = 2ab / (a + b) puis calculer m−p en fonction de a et b.
4. Montrer que si a et b sont des réels strictement négatifs,
alors m≤p<n.
5.
a) Calculer m²− n² et n²−p² en fonction de a et b.
b) En déduire que si a et b sont des réels strictement positifs,
alors p≤n≤m.
Solution:
1. Pour a = 2 et b = 8, on obtient :
m =(2+8)/2 = 5,
n²=16 ➝ n= 4
2/p = 1/2 + 1/8 ⇔ 2/p = 5/8 ⇔ p = 16/5.
La comparaison donne le résultat suivant : p < n < m.
m =(−12−3)/2 = −15/2 =−7,5,
n²=36 ➝ n=6
2/p = 1 /(−12) + 1 /(−3) ⇔ 2/p = 5 /(−12) ⇔ p = − 24/5 = −4,8.
La comparaison donne m < p < n.
On suppose que a < 0 et b < 0.
Dans ce cas, a + b < 0. Mais (a − b)² ≥ 0.
Donc p < 0 < n. Ce qui donne finalement m≤p<n.
5. a) on a:
b) On suppose que a > 0 et b > 0.
Dans ce cas, a+b > 0, donc m > 0.
Les trois moyennes sont donc positives.
Puisque m>0 et n>0 alors m>n.
De même, n²− p²> 0, donc n²> p², puis n>p.