Sujet 18 : Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )

4 math Le première clé pour être bon en maths

Examen 18 Avec SolutionMathématique Terminale S ( Bac 2 SM) : Avril 2012

EXERCICE 1

Partie A
Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est
constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage.
Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes.
Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.
1. À l’issue de chaque étape, Combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs?
2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :
– « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1; 50]
– l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.
a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :
L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};
L2 ={8,17,41,34,6};
L3 = {12,17,23,17,50};
L4 = {45,19,43,21,18}?
b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?
3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants.
Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.
4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.
a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ?
Préciser ses paramètres.
b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course.
Calculer, sous forme décimale arrondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :
— il a été contrôlé 5 fois exactement ;
— il n’a pas été contrôlé ;
— il a été contrôlé au moins une fois.
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. On donnera les résultats sous forme de fraction irréductibl.
Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que
P(T) =0,05.


On appelle D l’évènement : « le coureur est dopé ».
Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100 %, on sait que :
– si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97 % des cas ;
– si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1 % des cas.
1. Calculer P(D).
2. Un coureur a un contrôle positif.
Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé?

EXERCICE 2

Dans le repère orthonormé
de l’espace, on considère :
– les plans P et P ′ d’équations :
P : x − y −z −2 =0 et P ′ : x +y +3z = 0.
– la droite D ayant pour représentation paramétrique :
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse:


Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P .
Proposition 2 La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite Δ dont une représentation paramétrique est :
Proposition 4 Les droites D et Δ sont coplanaires.
EXERCICE 3

On considère les suites (In) et (Jn) définies pour tout entier naturel n par: :
1. Sont représentées ci-dessous les fonctions fn définies sur l’intervalle [0; 1] par:
pour différentes valeurs de n :
a. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) en expliquant la démarche
b. Démontrer cette conjecture.
2. a. Montrer que pour tout entier n ⩾ 0 et pour tout nombre réel x de l’intervalle [0; 1] :
b. Montrer que les suites (In) et (Jn) sont convergentes et déterminer leur limite.
3. a. Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier n ⩾ 1 :
EXERCICE 4

.

Partie A
Soit z un nombre complexe.
et que |z| est le module de z. On admet l’égalité
Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2|=|z1||z2|.


Partie B :
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
on désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1.
Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z = 1, associe le point M′ d’affixe z′ tel que :
1. Soit C le point d’affixe zC = −2+i.
a. Calculer l’affixe zC′ du point C′ image de C par la transformation f , et placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.
b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.
c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.
2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .
3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M′ appartient au cercle C .
Que peut-on en déduire pour les points A, M et M′ ?
5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe.
Construire son image D′ par la transformation f .
EXERCICE 5

Partie A
Soit a, b, c, d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul.
Montrer que si a ≡ b (mod n) et c ≡ d (mod n) alors ac ≡ bd (mod n).
Partie B
On considère l’équation
(E) : 23x −26y =1 où x et y désignent deux entiers relatifs.
1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E).
2. Résoudre alors l’équation (E).
3. En déduire un entier a tel que 0⩽ a ⩽ 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).
Partie C
On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :
1. Coder le mot ST.
2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :
a. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :
b. À l’aide de la partie B, montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S2), vérifie les équations du système (S3)


c. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3),
vérifie les équations du système (S1)
d. Décoder le mot YJ.

Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )
4 math Le première clé pour être bon en maths