4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 16 Avec SolutionMathématique Terminale S ( Bac 2 SM) : Novembre 2010
EXERCICE 1
PARTIE A
On suppose connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b
Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si pour tout x de [a ; b], f (x) ⩽g (x) alors :
PARTIE B :
Soit φ la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
φ(x) =1+x2 −2x2 lnx.
1. a. Étudier le sens de variation de la fonction φ sur l’intervalle [1 ; +∞[.
b. Calculer φ(e). Démontrer que l’équation φ(x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1,e].
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−1.
c. Déterminer le signe de φ(x) suivant les valeurs de x.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
On note f ′ la fonction dérivée de f .
a. Calculer f ′(x) et montrer que pour tout x ⩾ 1 on a:
b. Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.
c. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; +∞[ on a:
. b. On note C la courbe représentative de la fonction f , dans un repère orthonormé
d’unité graphique 1 cm.
Soit A l’aire exprimée en cm2 du domaine compris entre la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e.
Déterminer un encadrement de A .
EXERCICE 2
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
d’unité graphique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives
1. a. Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle.
b. En déduire le centre et le rayon du cercle Γ passant par les points A, B et C.
c. Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle Γ puis placer les points B et C.
b. En déduire la nature du triangle ABC
a. Montrer que le point O′ image de O par r , a pour affixe
b. Démontrer que les points C et O′ sont diamétralement opposés sur le cercle Γ.
c. Tracer l’image Γ′ du cercle Γ par la rotation r.
d. Justifier que les cercles Γ et Γ′ se coupent en A et B.
4. a. Déterminer l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que :
b. Montrer que les points A et B appartiennent à (E).
EXERCICE 3
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct
On considère la similitude indirecte f d’écriture complexe
Soient les points A et B d’affixes respectives:
On note A′ et B′ les images respectives des points A et B par f .
1. a. Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle.
b. Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct.
c. En déduire la nature du triangle OA′B′.
d. Montrer que l’affixe zA′ de A′ vérifie l’égalité : zA′ = 2zA.
En déduire la construction de A′ et B′.
a. Déterminer l’écriture complexe de la transformation g.
b. Montrer que les points O et A sont invariants par g.
c. En déduire la nature de la transformation g.
3. a. Montrer que l’on peut écrire f =h◦g, où h est une homothétie de centre et de rapport à déterminer.
b. Sur la figure ci dessus , un point C est placé.
Faire la construction de l’image C′ de C par la transformation f .
EXERCICE 4
Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.
1. On extrait simultanément et au hasard deux boules de l’urne.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage.
puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
c. Calculer la probabilité de l’évènement suivant :
A : « les deux boules tirées sont de même couleur ».
2. On effectue deux tirages successifs d’une boule en respectant la règle suivante :
si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.
a. En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants :
B : « seule la première boule tirée est verte »,
C : « une seule des deux boules tirées est verte ».
b. Sachant que l’on a tiré exactement une boule verte,
Quelle est la probabilité que cette boule verte soit la première tirée ?
EXERCICE 5
L’espace est muni d’un repère orthonormé
P est le plan passant par A(3; 1; 2)
D est la droite passant par B(1; 4; 2)
S est la sphère de centre Ω(1 ; 9 ; 0) passant par A.
1. Intersection du plan P et de la droite (D).
a. Démontrer que le plan P a pour équation cartésienne : x −4y +z −1 = 0.
b. Montrer que la droite (D) est strictement parallèle au plan P.
2. Intersection du plan P et de la sphère S .
a. Calculer la distance d du point Ω au plan P .
b. Calculer le rayon de la sphère S.
En déduire l’intersection du plan P et de la sphèreS.
3. Intersection de la droite (D) et de la sphère S .
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D).
b. Déterminer une équation cartésienne de la sphère S .
c. En déduire que la droite (D) coupe la sphère S en deux points M et N distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées.
Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )
4 math Le première clé pour être bon en maths