Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 02 – Exercice 09
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Tels que:a²b divise b²+3a.
1. Vérifier que b² / a ∈ N et 3a / b ∈ N.
2. Prouver que: 9a / b² ∈ N.
3. Déterminer tous les couples (a, b) d’entiers naturels non nuls.
Tels que: a²b divise b²+3a.
Solution
* On a:
a | a²b et a²b | b² + 3a
* cas3: x=9
b² = 9a et a=b²/9
③⤵️
a²b | b²+3a
(b²/9)²xb | b²+b²/3
b⁵/81| 4b²/3
b³ | 108
Donc: (a, b) = (1, 3).
a | b² + 3a & a | 3a
a | b²
b² / a ∈ N ①
* De même:
b | a²b et a²b | b² + 3a
b | b² + 3a & b | b²
b | 3a
3a / b ∈ N ②
2.
* Hypothèse:
a²b | b²+3a
a²b=k(b²+3a) avec k ∈ N
(b²+3a)/a²b =b/a² + 3/ab ∈ N ③
②x③
(3a/b) (b/a² + 3/ab ) ∈ N
3+9a/b² ∈ N
Donc: 9a/b² ∈ N
3.
* On a:
a | b² ➝ b²=xa
b² | 9a ➝ 9a=yb²
xy=9 (x, y ∈ N)
x ∈ {1, 3, 9}.
* cas1: x=1
b²=a
③⤵️
a²b | b²+3a
b⁵ | 4b²
b³ | 4
Donc: (a, b) = (1, 1)
* cas2: x=3
b² = 3a et a=b²/3
③⤵️
a²b | b²+3a
a²b | 6a
b³ | 18 (impossible)
b² = 3a et a=b²/3
③⤵️
a²b | b²+3a
a²b | 6a
b³ | 18 (impossible)
* cas3: x=9
b² = 9a et a=b²/9
③⤵️
a²b | b²+3a
(b²/9)²xb | b²+b²/3
b⁵/81| 4b²/3
b³ | 108
Donc: (a, b) = (1, 3).
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4 math .net et beaucoup de pratiques. 4 math .net Le première clé pour être bon en maths