Olympiade Math – Arithmétique 01 – Ex 09

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

▶️ Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 09

x,y et z des entiers positifs.
Trouver le nombre de solutions de l’équation: 

 x²y⁴ = 44z + 2

Solution

soit x∈ IN
on a 4 cas:
* x ≡0[4]➝ x² ≡ 0[4]
* x ≡1[4] ➝ x² ≡ 1[4]
* x ≡2[4] ➝ x² ≡ 4[4] ➝ x² ≡ 0[4]
* x ≡3[4] ➝ x² ≡ 9[4]➝ x² ≡ 1[4]
donc x² ≡ 0[4] ou x² ≡ 1[4

de même pour
y⁴≡0[4] ou y⁴≡1[4]
alors x²y⁴ ≡ 0[4] ou x²y⁴ ≡ 1[4] ①

d’autre part
* 44z ≡0[4]➝44z+2 ≡ 2[4] ②
①&②
▶️ l’équation « x²y⁴ = 44z+2″  n’a pas de solution

soit x∈ IN
on a 4 cas:
* x ≡0[4]➝ x² ≡ 0[4]
* x ≡1[4] ➝ x² ≡ 1[4]
* x ≡2[4] ➝ x² ≡ 4[4] ➝ x² ≡ 0[4]
* x ≡3[4] ➝ x² ≡ 9[4]➝ x² ≡ 1[4]
donc x² ≡ 0[4] ou x² ≡ 1[4

de même pour
y⁴≡0[4] ou y⁴≡1[4]
alors x²y⁴ ≡ 0[4] ou x²y⁴ ≡ 1[4] ①

d’autre part
* 44z ≡0[4]➝44z+2 ≡ 2[4] ②
①&②
▶️ l’équation « x²y⁴ = 44z+2″  n’a pas de solution

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