4 math Le première clé pour être bon en maths
Examen 07 Avec Solution
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : avril 2007
Mathématique Terminale S ( Bac 2 ) : avril 2007
EXERCICE 1
Dans le plan complexe P muni d’un repère orthonormal direct
on considère le quadrilatère ABCD tel que :
On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que :
Soit a,b,c et d les affixes respectives des points A, B, C et D,
m,n,p et q les affixes respectives des points M, N, P et Q.
1. Démontrer les relations suivantes :
m = eiπ/3 (a −b)+b , n = eiπ/3 (c −b)+b,
p = eiπ/3 (c −d)+d , q = eiπ/3 (a −d)+d.
2. En utilisant les relations précédentes :
a. Démontrer que MNPQ est un parallélogramme.
b. Démontrer que l’on a :
3. Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si,
les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient :
où k est un entier relatif.
EXERCICE 2
On considère le cube ABCDEFGH.
O1 et O2 sont les centres des carrés ABCD et EFGH, et I est le centre de gravité du triangle EBD.
Soit m un nombre réel et Gm le barycentre du système de points pondérés :
{(E ; 1), (B ; 1−m), (G ; 2m−1), (D ; 1−m)}
Partie A
1. Justifier l’existence du point Gm.
2. Préciser la position du point G1.
3. Vérifier que G0 = A.
En déduire que les points A, I et G sont alignés.
En déduire l’ensemble des points Gm
lorsque m parcourt l’ensemble des nombres réels.
5. a. Vérifier que les points A, Gm,E etO1, sont coplanaires.
b. Déterminer la valeur de m pour laquelle Gm se trouve sur la droite (EI).
Partie B
Dans cette D question, l’espace est rapporté au repère orthonormal
1. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EBD).
En déduire une équation cartésienne du plan ABD.
2. Déterminer les coordonnées du point Gm.
3. Pour quelles valeurs de m, la distance de Gm au plan (EBD) est-elle égale à
EXERCICE 3
Partie A étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur IR par: f (x) = 1+e−x −2e−2x
et C sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal
(unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées).
1. a. Soit le polynôme P défini sur IR par P(X) = 1+X −2X 2.
Étudier le signe de P(X).
b. En déduire le signe de f (x) sur IR.
c. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞.
Qu’en déduire pour la courbe C ?
3. Vérifier que f (x) =e−2x (e2x +ex −2).
puis déterminer la limite de f en −∞.
4. a. Soit f ′ la fonction dérivée de la fonction f .
Calculer f ′(x).
b. Montrer que f ′(x) a le même signe que (4−ex),
puis étudier le signe de f ′(x).
c. Dresser le tableau de variations de f .
On montrera que Ie maximum est un nombre rationnel.
5. a. Démontrer que la courbe C et la droite D d’équation y = 1 n’ont qu’un
point d’intersection A dont on déterminera les coordonnées.
b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.
6. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A.
7. Tracer les droites D et T , puis la courbe C .
Partie B étude d’une suite
1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe C
l’axe des ordonnées et la droite D.
2. On considère la suite (un) définie sur N∗ par :
a. Démontrer que la suite (un) est à termes positifs.
b. Donner une interprétation géométrique de (un ).
3. a. En utilisant le sens de variation de f , montrer que, pour tout n ⩾ 2 :
si x ∈ [(n −1)+ln(2) ; n+ln(2)] alors f (n+ln(2))−1 ⩽ f (x)−1 ⩽ f [(n−1)+ln(2)]−1.
b. En déduire que, pour tout n, n ⩾ 2, on a :
f (n +ln(2))−1⩽ un ⩽ f [(n −1)+ln(2)]−1.
c. Démontrer que la suite (un) est décroissante à partir du rang 2.
d. Montrer que la suite (un) est convergente.
4. Soit la suite (Sn) définie pour n > 0, par Sn = u1 +u2 +u3 +…+un.
a. Écrire Sn à l’aide d’une intégrale.
b. Interpréter géométriquement Sn
c. Calculer Sn et déterminer la limite de la suite (Sn).
Examen Mathématique Terminale S ( Bac 2 )
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