Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 31

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
▶️ Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 31

1- m nombre réel strictement positif
 Montrer que: m+1/m ≥ 2

 

2- x,y,z et t des nombres réels strictement positifs.

Montrer que:
 


Solution

* Calculer la différence et déterminer le signe de la différence des deux nombres:
m + 1/m – 2=(m²+1+2m)/m= (m+1)² / m ≥ 0 
➝ m+1/m ≥ 2  ①

* Calculons:
A= (x+y+z+t)(1/x+1/y+1/z+1/t)
A=(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(x/t+t/x)+(y/z+z/y)+(y/t+z/t)+(z/t+t/z)+1+1+1+1 
d’après ①
on pose m=x/y
➝ x / y+ y / x ≥ 2 
de même pour les autres
➨ (x+y+z+t)(1/x+1/y+1/z+1/t) ≥ (2+2+2+2+2+2+4= 16
* Calculer la différence et déterminer le signe de la différence des deux nombres:
m + 1/m – 2=(m²+1+2m)/m= (m+1)² / m ≥ 0 
➝ m+1/m ≥ 2  ①
 
* Calculons:
A= (x+y+z+t)(1/x+1/y+1/z+1/t)
A=(x/y+y/x)+(x/z+z/x)+(x/t+t/x)+(y/z+z/y)+(y/t+z/t)+(z/t+t/z)+1+1+1+1 
d’après ①
on pose m=x/y
➝ x / y+ y / x ≥ 2 
de même pour les autres
➨ (x+y+z+t)(1/x+1/y+1/z+1/t) ≥ (2+2+2+2+2+2+4= 16
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